Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
\ln t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor mais geral \mathbf{r}(t) cuja derivada é
\mathbf{r}'(t)=\ln t\,\mathbf{i}+t^{2}\,\mathbf{j}.
O conteúdo aqui é antiderivação componente a componente de uma função vetorial, acrescida de uma constante vetorial.

Passo 2

Integramos a primeira componente \ln t em relação a t. Para isso usamos integração por partes, escolhendo
u=\ln t,\quad dv=dt,
du=\frac{1}{t}dt,\quad v=t.
Logo
\int \ln t\,dt = uv - \int v\,du = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t.

Passo 3

Integramos a segunda componente t^{2} em relação a t, que é direta:
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Juntamos as antiderivadas e adicionamos a constante vetorial \mathbf{C}=C_{1}\,\mathbf{i}+C_{2}\,\mathbf{j}. Assim o vetor mais geral é
\mathbf{r}(t) =\bigl(t\ln t - t + C_{1}\bigr)\mathbf{i} +\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3}+C_{2}\Bigr)\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{r}(t) =\bigl(t\ln t - t + C_{1}\bigr)\mathbf{i} +\Bigl(\tfrac{t^{3}}{3}+C_{2}\Bigr)\mathbf{j},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais.

Exercícios relacionados