Ache um vetor unitário ortogonal a
e a
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (perpendicular) a
e a
.
Informações dadas:
-
. -
.
O que preciso devolver: um vetor de norma
que seja perpendicular tanto a
quanto a
.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática):
- Um jeito prático de achar um vetor perpendicular a dois vetores em
é usar o produto vetorial (cross product). - Propriedade fundamental do produto vetorial: para
e ,
Esse vetor é ortogonal a ambos
e
. Vou usar essa fórmula porque é direta e fácil de calcular à mão.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula acima. Tomando
como componentes de
e
como de
:
Agora calcular cada componente passo a passo:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
. - Terceira componente:
.
Portanto
Passo 4
Verificação rápida de ortogonalidade (aprender fazendo): um vetor
é ortogonal a
se
. Vou checar
e
.
Calcular
:
Calcular
:
As duas produtos escalares são zero, então
é realmente ortogonal a
e a
.
Passo 5
Agora transformar
em um vetor unitário (normalização). Primeiro achar a norma (magnitude):
Passo 6
Dividir o vetor pelo seu módulo para obter um vetor de norma
. Fazendo a divisão componente a componente:
Observação importante: se
é unitário e ortogonal a
e
, então
também é unitário e ortogonal. Assim a outra solução válida é
Passo 7
Resumo final do raciocínio: usei o produto vetorial para obter um vetor perpendicular, verifiquei a perpendicularidade com produtos escalares e normalizei dividindo pelo módulo. Temos, portanto, os dois vetores unitários possíveis (opostos entre si).