Ache um vetor unitário ortogonal a \vec{u}=(1,-3,1) e a \vec{v}=(-1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um vetor unitário que seja ortogonal (perpendicular) a \vec{u}=(1,-3,1) e a \vec{v}=(-1,1,1).
Informações dadas:
  • \vec{u}=(1,-3,1).
  • \vec{v}=(-1,1,1).
O que preciso devolver: um vetor de norma 1 que seja perpendicular tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática):
  • Um jeito prático de achar um vetor perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3 é usar o produto vetorial (cross product).
  • Propriedade fundamental do produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2 b_3-a_3 b_2,\; a_3 b_1-a_1 b_3,\; a_1 b_2-a_2 b_1\big).
Esse vetor é ortogonal a ambos \vec{a} e \vec{b}. Vou usar essa fórmula porque é direta e fácil de calcular à mão.

Passo 3

Calcular \vec{u}\times\vec{v} usando a fórmula acima. Tomando a_i como componentes de \vec{u} e b_i como de \vec{v}:
\vec{u}\times\vec{v}=\big((-3)\cdot1-1\cdot1,\; 1\cdot(-1)-1\cdot1,\; 1\cdot1-(-3)\cdot(-1)\big).
Agora calcular cada componente passo a passo:
  • Primeira componente: (-3)\cdot1-1\cdot1=-3-1=-4.
  • Segunda componente: 1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2.
  • Terceira componente: 1\cdot1-(-3)\cdot(-1)=1-3=-2.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(-4,-2,-2).

Passo 4

Verificação rápida de ortogonalidade (aprender fazendo): um vetor \vec{w} é ortogonal a \vec{u} se \vec{u}\cdot\vec{w}=0. Vou checar \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) e \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}).
Calcular \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
(1,-3,1)\cdot(-4,-2,-2)=1\cdot(-4)+(-3)\cdot(-2)+1\cdot(-2)=-4+6-2=0.
Calcular \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
(-1,1,1)\cdot(-4,-2,-2)=(-1)\cdot(-4)+1\cdot(-2)+1\cdot(-2)=4-2-2=0.
As duas produtos escalares são zero, então (-4,-2,-2) é realmente ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.

Passo 5

Agora transformar (-4,-2,-2) em um vetor unitário (normalização). Primeiro achar a norma (magnitude):
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.

Passo 6

Dividir o vetor pelo seu módulo para obter um vetor de norma 1. Fazendo a divisão componente a componente:
\frac{1}{2\sqrt{6}}(-4,-2,-2)=\big(-\tfrac{4}{2\sqrt{6}},-\tfrac{2}{2\sqrt{6}},-\tfrac{2}{2\sqrt{6}}\big)=\big(-\tfrac{2}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\big).
Observação importante: se \vec{w} é unitário e ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, então -\vec{w} também é unitário e ortogonal. Assim a outra solução válida é
\big(\tfrac{2}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}}\big).

Passo 7

Resumo final do raciocínio: usei o produto vetorial para obter um vetor perpendicular, verifiquei a perpendicularidade com produtos escalares e normalizei dividindo pelo módulo. Temos, portanto, os dois vetores unitários possíveis (opostos entre si).

Resposta

\displaystyle \big(-\tfrac{2}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\big)
\displaystyle \big(\tfrac{2}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}}\big)

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