Verifique as seguintes propriedades para os vetores u, v e o escalar \alpha.
Desigualdade triangular inversa \|u-v\| \geq\|u\|-\|v\|.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede.
  • Dados: dois vetores u e v (por exemplo em \mathbb{R}^n) e a norma \|\cdot\| associada (norma euclidiana ou qualquer norma que satisfaça as propriedades de norma).
  • Pedido: verificar a desigualdade conhecida como desigualdade triangular inversa
\|u-v\| \geq \|u\| - \|v\|.
Vou provar essa desigualdade passo a passo, explicando cada ferramenta que uso.

Passo 2

Relembrando a propriedade básica que usarei: a desigualdade triangular.
  • A desigualdade triangular diz que, para quaisquer vetores x e y,
\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.
  • O sentido geométrico (no caso euclidiano) é óbvio: em um triângulo, o comprimento de um lado é menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados. Algebraicamente, é uma propriedade que toda norma deve satisfazer.

Passo 3

Escolher quais vetores colocar na desigualdade triangular.
  • Tome x = u-v e y = v. Então x+y = (u-v)+v = u. Substituindo na desigualdade triangular obtemos
\|u\| = \| (u-v) + v \| \leq \|u-v\| + \|v\|.
  • Aqui expliquei cada símbolo: \|u\| é a norma (o “tamanho”) do vetor u; \|u-v\| é a norma do vetor diferença; \|v\| é a norma de v.

Passo 4

Isolar a quantidade desejada.
  • A desigualdade do passo anterior é
\|u\| \leq \|u-v\| + \|v\|.
  • Subtraindo \|v\| de ambos os lados (operação válida porque \|v\| é um número real), obtemos
\|u\| - \|v\| \leq \|u-v\|.
  • Reescrevendo na forma pedida:
\|u-v\| \geq \|u\| - \|v\|.
  • Isso já prova a desigualdade solicitada.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): versão simétrica e versão com valor absoluto.
  • Se, em vez de aplicar a desigualdade triangular com x=u-v e y=v, aplicarmos com x=v-u e y=u (isto é, trocando u e v), obtemos
\|v-u\| \geq \|v\| - \|u\|.
  • Como \|v-u\|=\|u-v\|, isso dá
\|u-v\| \geq \|v\| - \|u\|.
  • Unindo as duas desigualdades obtidas temos, para ambos os sinais,
\|u-v\| \geq \big|\|u\| - \|v\|\big|.
  • Ou seja, a forma mais forte da desigualdade triangular inversa é
\|u-v\| \geq \big|\|u\| - \|v\|\big|.

Passo 6

Exemplo numérico curto para sentir a desigualdade.
  • Tome u=(3,0) e v=(1,0) em \mathbb{R}^2 com a norma euclidiana. Então \|u\|=3, \|v\|=1 e u-v=(2,0) tem \|u-v\|=2.
  • A desigualdade pede \|u-v\| \geq \|u\| - \|v\|. Aqui \|u\| - \|v\|=3-1=2, e \|u-v\|=2, então dá igualdade. Isso mostra que a desigualdade pode ser verdadeira com igualdade (quando u e v são colineares e apontam no mesmo sentido apropriado).

Passo 7

Resumo final do raciocínio (motivacional).
  • O truque é sempre lembrar: escreva u como u=(u-v)+v e aplique a desigualdade triangular. É curto, direto e funciona para qualquer norma que satisfaça a desigualdade triangular. Vai na prova com confiança — você só precisa lembrar desse artifício!

Resposta

\|u-v\| \geq \|u\| - \|v\|

Exercícios relacionados