Verifique as seguintes propriedades para os vetores
e o escalar
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Desigualdade triangular inversa
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Desigualdade triangular inversa
Passo 1
O que o problema dá e o que pede.
- Dados: dois vetores
e (por exemplo em ) e a norma associada (norma euclidiana ou qualquer norma que satisfaça as propriedades de norma). - Pedido: verificar a desigualdade conhecida como desigualdade triangular inversa
Vou provar essa desigualdade passo a passo, explicando cada ferramenta que uso.
Passo 2
Relembrando a propriedade básica que usarei: a desigualdade triangular.
- A desigualdade triangular diz que, para quaisquer vetores
e ,
- O sentido geométrico (no caso euclidiano) é óbvio: em um triângulo, o comprimento de um lado é menor ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados. Algebraicamente, é uma propriedade que toda norma deve satisfazer.
Passo 3
Escolher quais vetores colocar na desigualdade triangular.
- Tome
e . Então . Substituindo na desigualdade triangular obtemos
- Aqui expliquei cada símbolo:
é a norma (o “tamanho”) do vetor ; é a norma do vetor diferença; é a norma de .
Passo 4
Isolar a quantidade desejada.
- A desigualdade do passo anterior é
- Subtraindo
de ambos os lados (operação válida porque é um número real), obtemos
- Reescrevendo na forma pedida:
- Isso já prova a desigualdade solicitada.
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): versão simétrica e versão com valor absoluto.
- Se, em vez de aplicar a desigualdade triangular com
e , aplicarmos com e (isto é, trocando e ), obtemos
- Como
, isso dá
- Unindo as duas desigualdades obtidas temos, para ambos os sinais,
- Ou seja, a forma mais forte da desigualdade triangular inversa é
Passo 6
Exemplo numérico curto para sentir a desigualdade.
- Tome
e em com a norma euclidiana. Então , e tem . - A desigualdade pede
. Aqui , e , então dá igualdade. Isso mostra que a desigualdade pode ser verdadeira com igualdade (quando e são colineares e apontam no mesmo sentido apropriado).
Passo 7
Resumo final do raciocínio (motivacional).
- O truque é sempre lembrar: escreva
como e aplique a desigualdade triangular. É curto, direto e funciona para qualquer norma que satisfaça a desigualdade triangular. Vai na prova com confiança — você só precisa lembrar desse artifício!