Verifique as seguintes propriedades para os vetores u, v e o escalar \alpha.
Linearidade em relação ao produto escalar: \alpha(u \cdot v)=(\alpha u) \cdot v=u \cdot(\alpha v).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
\alpha(u\cdot v)=(\alpha u)\cdot v = u\cdot(\alpha v),
onde temos três objetos dados:
  • u é um vetor (assuma u\in\mathbb{R}^n);
  • v é um vetor (assuma v\in\mathbb{R}^n);
  • \alpha é um escalar (assuma \alpha\in\mathbb{R}).
A tarefa é mostrar, passo a passo, que essas três expressões são iguais para quaisquer u,v e \alpha fornecidos acima.

Passo 2

Representação por coordenadas (isso facilita a prova). Escrevemos os vetores componente a componente:
u=(u_1,u_2,\dots,u_n), \qquad v=(v_1,v_2,\dots,v_n),
onde cada u_i e v_i é um número real. O produto escalar entre u e v é definido por soma dos produtos das componentes correspondentes:
u\cdot v=\sum_{i=1}^{n} u_i v_i.

Passo 3

Lembrete das propriedades dos números reais que vamos usar:
  • A multiplicação em \mathbb{R} é comutativa: para quaisquer a,b\in\mathbb{R} temos ab=ba.
  • A multiplicação é associativa: (ab)c=a(bc).
  • A multiplicação distribui sobre a soma: a(b+c)=ab+ac.
    Estas propriedades permitem manipular somas e produtos de componentes sem problemas.

Passo 4

Calcular \alpha(u\cdot v) usando a definição do produto escalar:
\alpha(u\cdot v)=\alpha\left(\sum_{i=1}^{n} u_i v_i\right).
Pelo fato de que a multiplicação por um escalar distribui sobre soma em \mathbb{R}, podemos levar \alpha para dentro da soma:
\alpha\left(\sum_{i=1}^{n} u_i v_i\right)=\sum_{i=1}^{n} \alpha (u_i v_i).
Usando a associatividade/ comutatividade do produto real, reagrupamos \alpha (u_i v_i) como (\alpha u_i) v_i ou como u_i (\alpha v_i). Portanto
\alpha(u\cdot v)=\sum_{i=1}^{n} \alpha u_i v_i.

Passo 5

Calcular (\alpha u)\cdot v. Primeiro escrevemos \alpha u em componentes:
\alpha u=(\alpha u_1,\alpha u_2,\dots,\alpha u_n).
O produto escalar com v
(\alpha u)\cdot v=\sum_{i=1}^{n} (\alpha u_i) v_i.
Pela associatividade/ comutatividade de \mathbb{R} temos (\alpha u_i) v_i=\alpha u_i v_i. Assim
(\alpha u)\cdot v=\sum_{i=1}^{n} \alpha u_i v_i.

Passo 6

Calcular u\cdot(\alpha v). Semelhante ao passo anterior, \alpha v=(\alpha v_1,\dots,\alpha v_n) e
u\cdot(\alpha v)=\sum_{i=1}^{n} u_i (\alpha v_i).
Usando as propriedades dos reais tem-se u_i(\alpha v_i)=\alpha u_i v_i. Portanto
u\cdot(\alpha v)=\sum_{i=1}^{n} \alpha u_i v_i.

Passo 7

Comparando os resultados dos passos 4, 5 e 6, todos são a mesma soma:
\alpha(u\cdot v)=\sum_{i=1}^{n} \alpha u_i v_i=(\alpha u)\cdot v = u\cdot(\alpha v).
Logo as três expressões são idênticas para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^n e \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome u=(1,2), v=(3,4) e \alpha=5.
u\cdot v = 1\cdot3 + 2\cdot4 = 3+8=11,
\alpha(u\cdot v)=5\cdot11=55.
\alpha u = (5,10),\qquad (\alpha u)\cdot v = 5\cdot3 + 10\cdot4 = 15+40=55.
\alpha v = (15,20),\qquad u\cdot(\alpha v) = 1\cdot15 + 2\cdot20 = 15+40=55.
Os três números coincidem, como provado.

Resposta

\alpha(u \cdot v)=(\alpha u) \cdot v=u \cdot(\alpha v)

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