Verifique as seguintes propriedades para os vetores
e o escalar
.
Linearidade em relação ao produto escalar:
.
Linearidade em relação ao produto escalar:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
onde temos três objetos dados:
-
é um vetor (assuma ); -
é um vetor (assuma ); -
é um escalar (assuma ).
A tarefa é mostrar, passo a passo, que essas três expressões são iguais para quaisquer
e
fornecidos acima.
Passo 2
Representação por coordenadas (isso facilita a prova). Escrevemos os vetores componente a componente:
onde cada
e
é um número real. O produto escalar entre
e
é definido por soma dos produtos das componentes correspondentes:
Passo 3
Lembrete das propriedades dos números reais que vamos usar:
- A multiplicação em
é comutativa: para quaisquer temos . - A multiplicação é associativa:
. - A multiplicação distribui sobre a soma:
.
Estas propriedades permitem manipular somas e produtos de componentes sem problemas.
Passo 4
Calcular
usando a definição do produto escalar:
Pelo fato de que a multiplicação por um escalar distribui sobre soma em
, podemos levar
para dentro da soma:
Usando a associatividade/ comutatividade do produto real, reagrupamos
como
ou como
. Portanto
Passo 5
Calcular
. Primeiro escrevemos
em componentes:
O produto escalar com
dá
Pela associatividade/ comutatividade de
temos
. Assim
Passo 6
Calcular
. Semelhante ao passo anterior,
e
Usando as propriedades dos reais tem-se
. Portanto
Passo 7
Comparando os resultados dos passos 4, 5 e 6, todos são a mesma soma:
Logo as três expressões são idênticas para quaisquer
e
.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome
,
e
.
Os três números coincidem, como provado.