Em um acidente numa ferrovia, um vagão de carga pesando 200 kN e viajando a 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre um trilho horizontal colide com um vagão de passageiros pesando 400 kN inicialmente em repouso. A colisão conecta os dois vagões. Pergunta-se:
a) Qual é a velocidade final do conjunto?
b) Quanta energia cinética do sistema foi perdida na colisão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Peso do vagão de carga: 200\\ \mathrm{kN}.
    • Velocidade inicial do vagão de carga: 3\\ \mathrm{m/s}.
    • Peso do vagão de passageiros: 400\\ \mathrm{kN}.
    • Velocidade inicial do vagão de passageiros: 0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
    • Os trilhos são horizontais e a colisão conecta os dois vagões (colisão perfeitamente inelástica).
  • Constante gravitacional que usaremos para converter peso em massa:
    • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a velocidade final do conjunto após a colisão?
    (b) Quanto de energia cinética do sistema foi perdida na colisão?

Passo 2

Converter os pesos (forças) em massas: como peso W=mg, a massa é m=W/g.
  • Para o vagão de carga:
m_1=\frac{200\\ \mathrm{kN}}{g}=\frac{200000\\ \mathrm{N}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}}.
Calculemos:
m_1=\frac{200000}{9{,}81}\\ \mathrm{kg}\approx 20387{,}009\\ \mathrm{kg}.
  • Para o vagão de passageiros:
m_2=\frac{400\\ \mathrm{kN}}{g}=\frac{400000\\ \mathrm{N}}{9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}}.
Calculemos:
m_2=\frac{400000}{9{,}81}\\ \mathrm{kg}\approx 40774{,}018\\ \mathrm{kg}.
(Observação: m_2 é o dobro de m_1, porque o peso é o dobro.)

Passo 3

Aplicar a conservação do momento linear (colisão horizontal sem forças externas impulsivas significativas): o momento total antes é igual ao momento total depois.
A fórmula geral é:
m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}=(m_1+m_2)v_f,
onde v_{1i} e v_{2i} são as velocidades iniciais dos dois vagões e v_f é a velocidade comum após a colisão.
Aqui v_{1i}=3\\ \mathrm{m/s} e v_{2i}=0. Assim
v_f=\frac{m_1 v_{1i}+m_2 v_{2i}}{m_1+m_2}=\frac{m_1\cdot 3 + m_2\cdot 0}{m_1+m_2}=\frac{3 m_1}{m_1+m_2}.
Substituindo os valores de m_1 e m_2:
v_f=\frac{3\cdot 20387{,}009}{20387{,}009+40774{,}018}\\ \mathrm{m/s} =\frac{61161{,}027}{61161{,}027}\\ \mathrm{m/s}=1\\ \mathrm{m/s}.
(Também era possível ver rapidamente que, como as massas estão na razão 1:2, a velocidade final é 3\cdot\frac{1}{1+2}=1\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 4

Calcular a energia cinética inicial do sistema. A energia cinética de um corpo é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^2,
e a energia cinética total inicial é a soma das energias de cada vagão antes da colisão. Como o segundo está em repouso, só o primeiro contribui inicialmente:
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 20387{,}009\cdot 3^2\\ \mathrm{J}.
Calculemos passo a passo:
v_{1i}^2=3^2=9,
K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}\cdot 20387{,}009\cdot 9=4{,}5\cdot 20387{,}009\\ \mathrm{J}\approx 91741{,}541\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia cinética final do conjunto (ambos presos, massa m_1+m_2 e velocidade v_f):
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2=\tfrac{1}{2}\cdot 61161{,}027\cdot 1^2\\ \mathrm{J}.
Portanto
K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}\cdot 61161{,}027\\ \mathrm{J}=30580{,}5135\\ \mathrm{J}\approx 30580{,}514\\ \mathrm{J}.

Passo 6

A energia cinética perdida na colisão é a diferença entre a energia inicial e a final:
\Delta K = K_{\text{inicial}}-K_{\text{final}}.
Substituindo os valores:
\Delta K \approx 91741{,}541 - 30580{,}514\\ \mathrm{J}=61161{,}027\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: essa energia foi dissipada em deformação dos vagões, calor, som, etc., pois a colisão é inelástica.
Para checar (fórmula conhecida para colisão perfeitamente inelástica), a perda também pode ser obtida por
\Delta K=\tfrac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(v_{1i}-v_{2i})^2,
o que, ao substituir v_{2i}=0, dá o mesmo valor numérico acima (confere o cálculo).

Resposta

(a) 1\\ \mathrm{m/s}
(b) 61161{,}03\\ \mathrm{J}

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