1,70 \mathrm{~L} de um gás com \gamma=1,35 a 270 K e 1,25 atm é comprimido adiabaticamente para a metade do volume inicial -Determine.
a. Número de mols;
b. Pressão final,
c. Temperatura final.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de gás que sofre compressão adiabática e pede três coisas. Vou listar exatamente o que é dado e o que se pede:
  • Dados iniciais (peguei do enunciado):
    • Volume inicial: V_i = 1,70\\ \mathrm{L}.
    • Temperatura inicial: T_i = 270\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial: P_i = 1,25\\ \mathrm{atm}.
    • Constante adiabática: \gamma = 1,35.
    • O gás é comprimido adiabaticamente até a metade do volume inicial, ou seja o volume final é V_f = \dfrac{V_i}{2}.
  • O enunciado pede:
    a. Determinar o número de mols n.
    b. Determinar a pressão final P_f.
    c. Determinar a temperatura final T_f.

Passo 2

Como vamos precisar do número de mols, lembramos da equação dos gases ideais (essa é a fórmula que relaciona pressão, volume, temperatura e número de mols):
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão (unidades: \mathrm{atm} aqui),
  • V é o volume (unidades: \mathrm{L} aqui),
  • n é o número de mols (o que queremos),
  • R é a constante universal dos gases na forma compatível com as unidades escolhidas,
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
Na prática, para usar \mathrm{L}, \mathrm{atm} e \mathrm{K} usamos
R = 0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
Isolando n da equação dos gases ideais:
n=\dfrac{P_i V_i}{R T_i}.

Passo 3

Agora substituo os valores (tenho cuidado para colocar todos os números em notação compatível):
n=\dfrac{P_i V_i}{R T_i}=\dfrac{(1,25)(1,70)}{(0,082057)(270)}.
Faço as contas passo a passo:
\text{numerador} = 1,25\cdot 1,70 = 2,125,
\text{denominador} = 0,082057\cdot 270 = 22,15539\\ \text{(aprox.)},
n=\dfrac{2,125}{22,15539}\approx 0,0959\\ \mathrm{mol}.
Portanto, o número de mols é aproximadamente \,0,0959\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Para achar a pressão final em um processo adiabático reversível de gás ideal usamos a lei adiabática:
P V^{\gamma}=\text{constante}.
Isso significa que entre os estados inicial e final vale
P_i V_i^{\gamma}=P_f V_f^{\gamma}.
Isolando P_f:
P_f = P_i\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma}.
Como V_f = \dfrac{V_i}{2}, temos \dfrac{V_i}{V_f}=2. Assim
P_f = P_i\,2^{\gamma}.

Passo 5

Agora calculo numericamente P_f:
P_f = 1,25\cdot 2^{1,35}.
Para calcular 2^{1,35} uso 2^{1,35}=e^{1,35\ln 2}. Com \ln 2\approx 0,693147:
1,35\ln 2 \approx 1,35\cdot 0,693147 = 0,935748,
2^{1,35}=e^{0,935748}\approx 2,568.
Logo
P_f \approx 1,25\cdot 2,568 \approx 3,21\\ \mathrm{atm}.

Passo 6

Para a temperatura final podemos usar a relação equivalente para adiabáticos:
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
que vem diretamente de combinar P V^{\gamma}= const com P=\dfrac{nRT}{V}. Assim
T_i V_i^{\gamma-1}=T_f V_f^{\gamma-1},
e isolando T_f:
T_f = T_i\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Como acima \dfrac{V_i}{V_f}=2, obtemos
T_f = T_i\,2^{\,\gamma-1}.

Passo 7

Calculo numérico de T_f:
T_f = 270\cdot 2^{1,35-1}=270\cdot 2^{0,35}.
Faço 2^{0,35}=e^{0,35\ln 2} com \ln 2\approx 0,693147:
0,35\ln 2 \approx 0,35\cdot 0,693147 = 0,242601,
2^{0,35}=e^{0,242601}\approx 1,2745,
T_f \approx 270\cdot 1,2745 \approx 344,1\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de consistência): usando P_f V_f e n R T_f deve-se obter valores próximos (pequenas diferenças aparecem só por arredondamento):
P_f V_f \approx 3,21\\ \mathrm{atm}\times 0,85\\ \mathrm{L}=2,7285\\ \mathrm{atm\cdot L},
n R T_f \approx 0,0959\cdot 0,082057\cdot 344,1 \approx 2,73\\ \mathrm{atm\cdot L},
os dois lados coincidem dentro do arredondamento, então está consistente.

Resposta

a. n \approx 0,0959\\ \mathrm{mol}
b. P_f \approx 3,21\\ \mathrm{atm}
c. T_f \approx 344,1\\ \mathrm{K}

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