Ulm gás monoatômico se expande a pressão constante ao receber 15 J de calor. Qual o aumento de E_{\text {int }} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um gás monoatômico recebe calor de Q=15\\ \text{J}.
  • A expansão ocorre à pressão constante.
    A pergunta é: qual é o aumento da energia interna do gás, isto é, qual é \Delta E_{\text{int}}?

Passo 2

Vou lembrar a lei primeira da termodinâmica e o que significa cada termo, porque isso é a base do raciocínio.
A primeira lei diz:
\Delta E_{\text{int}} = Q - W,
onde:
  • \Delta E_{\text{int}} é a variação da energia interna do gás,
  • Q é o calor trocado com o sistema (positivo se recebido pelo gás),
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
Num processo a pressão constante, o trabalho realizado pelo gás é W = P\Delta V. Porém, raramente na prova nos dão P e \Delta V — e aqui não foram dados — então é mais prático usar as capacidades térmicas para eliminar \Delta V e \Delta T. Para um gás ideal vale que a energia interna depende só da temperatura e:
\Delta E_{\text{int}} = n C_V \Delta T,
e, no processo a pressão constante:
Q = n C_P \Delta T,
onde:
  • n é o número de mols,
  • C_V é o calor molar a volume constante (por mol),
  • C_P é o calor molar à pressão constante (por mol),
  • \Delta T é a variação de temperatura.
Dividindo as duas equações, eliminamos n e \Delta T:
\frac{\Delta E_{\text{int}}}{Q}=\frac{C_V}{C_P}\quad\Rightarrow\quad \Delta E_{\text{int}}=Q\cdot\frac{C_V}{C_P}.

Passo 3

Agora precisamos do valor de \dfrac{C_V}{C_P} para um gás monoatômico e explicar por quê.
Para um gás ideal com f graus de liberdade translacionais/rotacionais (vibrações desprezadas a temperaturas moderadas):
C_V=\frac{f}{2}R, \qquad C_P=C_V+R,
onde R é a constante universal dos gases. Para um gás monoatômico temos f=3 (três graus de liberdade de translação), então:
C_V=\frac{3}{2}R, \qquad C_P=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
Portanto a razão é:
\frac{C_V}{C_P}=\frac{\tfrac{3}{2}R}{\tfrac{5}{2}R}=\frac{3}{5}.

Passo 4

Substituindo essa razão na expressão obtida no Passo 2, obtemos:
\Delta E_{\text{int}} = Q\cdot\frac{3}{5} = 15\cdot\frac{3}{5}.
Interpretação física rápida: num processo a pressão constante parte do calor acrescentado vai para aumentar a energia interna (elevar a temperatura) e parte vai como trabalho de expansão; para um monoatômico, 60\% do calor vai para a energia interna e 40\% vira trabalho.

Resposta

9\\ \text{J}

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