Em um acionamento PMAC trifásico de 2 polos, a constante de torque
e a constante de tensão elétrica
são ambas iguais a
unidades do sistema MKS. A indutância síncrona é de 15 mH (despreze a resistência elétrica do enrolamento). Se ele estiver operando como gerador, e estiver recebendo um torque de 3 Nm a 3000 rpm do sistema mecânico conectado ao eixo da máquina, calcule a tensão elétrica por fase na unidade de processamento de energia à medida que ela fornece as correntes elétricas controladas para este gerador. Assuma que
.
Passo 1
O que o exercício dá e o que pede (resumindo e com todos os dados):
- Máquina: PMAC trifásico de 2 polos (logo número de pares de polos
). - Constantes:
(unidades MKS). - Indutância síncrona:
. - Resistência do enrolamento desprezada (
). - Torque mecânico aplicado ao eixo (gerador recebendo torque):
. - Velocidade mecânica:
. - Condição inicial do ângulo do rotor:
.
O que se pede: - Calcular a tensão elétrica por fase (tensão na unidade de processamento de energia, isto é, a tensão de fase que o conversor vê/fornece) enquanto fornece as correntes controladas para este gerador.
Passo 2
Modelo e hipóteses usadas (explicando e motivando cada escolha):
- Para máquinas síncronas de ímã permanente, em controle orientado ao campo (FOC) é comum usar o referencial síncrono
. Nesse referencial: - O torque eletromagnético é gerado pelo componente
da corrente (com associado ao fluxo magnetizante). Para máquinas de superfície e com regulado a zero, a relação simplificada usada aqui é
em que é o torque eletromagnético (em ) e é a componente em amperes. (Esta forma é a que o enunciado sugere ao dar e iguais.) - O torque eletromagnético é gerado pelo componente
- Como o conversor controla as correntes, assumimos controle com
(típico para obter máximo torque por corrente quando não se faz campo variável). - A tensão fase‑a‑neutro elétrica de uma fase
(equação do enrolamento) vale, em geral, Como é desprezível, fica - Para a fem gerada por polo em cada fase vale a relação (modelo usado aqui, coerente com
fornecido): em que é a velocidade angular elétrica e é o ângulo elétrico do rotor. (Explico a seguir como obtive e .) - Como a máquina tem 2 polos, pares de polos
, logo a velocidade elétrica é igual à mecânica:
Passo 3
Cálculo da velocidade angular e do ângulo elétrico:
- Converter
para rad/s: - O ângulo elétrico em função do tempo é
com . Assim
Passo 4
Encontrar a corrente necessária para equilibrar o torque:
- Usando a relação escolhida
, isolamos : - Interpretação: o conversor vai controlar a componente
da corrente em (com ) para que a máquina, atuando como gerador, entregue o torque eletromagnético correspondente ao torque mecânico aplicado.
Passo 5
Expressar a corrente de fase
em função de
e calcular
:
- A transformação inversa Park (de
para abc) para a fase dá, no caso , Logo, com , - Derivando:
Substituindo :
Passo 6
Montar a expressão da tensão de fase
e inserir os números:
- Recordando
, substituímos: - Colocando os valores numéricos (
, , ): - Primeiro termo (indutivo):
(volts multiplicando com sinal negativo). - Segundo termo (fem):
(volts multiplicando ).
- Primeiro termo (indutivo):
- Portanto
com .
Passo 7
Escrever a forma fasorial (única seno com amplitude e defasagem) — cálculo do módulo e da fase:
- Escrevemos
com e . A amplitude resultante é - A defasagem
tal que é - Substituindo
obtemos a forma final temporal: que em graus fica