- O motor de 2 polos em um acionamento PMAC tem os seguintes parâmetros:
, e
. Desenhe os diagramas de vetor espacial e fasorial para esta máquina se ela estiver fornecendo seu torque nominal contínuo de
em sua velocidade nominal de 6000 rpm . Assuma que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- O enunciado pede: desenhar os diagramas de vetor espacial e fasorial quando a máquina estiver entregando o torque nominal contínuo
a , com . - Dados numéricos (peguei-os do enunciado):
-
. -
. -
. - Torque requerido
. - Velocidade mecânica
. - Posição inicial do rotor (ângulo mecânico)
.
-
Observação importante (sem resolver ainda): a máquina é um PMAC de 2 polos, logo o número de pares de polos é
e o ângulo elétrico é igual ao ângulo mecânico (ângulo elétrico
ângulo mecânico
). A resolução a seguir assume rotor de superfície (não salient) de modo que
; se a máquina fosse saliente, haveria termo adicional de relutância no torque.
Passo 2
Relação entre constante de torque
e fluxo permanente
. (Aula rápida e aplicável na prova.)
- Fórmula básica (para um PM síncrono não-saliente): o torque eletromagnético em regime permanente, quando toda a contribuição vem do fluxo de ímã, pode ser escrito em termos do componente de corrente em quadratura
(valor de pico da componente q no referencial do rotor) como
Aqui:
-
é o torque eletromagnético (Nm). -
é o número de pares de polos (aqui ). -
é o fluxo de ímã ligado ao estator (em V·s ou Wb-turns, valor de pico). -
é a componente de corrente q no referencial do rotor (valor de pico da corrente). -
A constante de torque
normalmente é definida por
Logo podemos extrair
a partir de
:
- Substituindo
e :
Comentário prático: é comum em provas pedir para passar de
para
exatamente por esta relação; decorre diretamente da forma do torque para PMSM não-saliente.
Passo 3
Corrente necessária para produzir o torque pedido (aula e cálculo).
- Se escolhermos a referência tal que o torque seja produzido somente pela componente
(corrente em quadratura com o campo do ímã), então, rearranjando a fórmula do passo anterior:
- Substituindo
e :
- Conversão para valor eficaz (RMS), útil se for comparar com correntes de placa:
Breve explicação intuitiva (didática): o motor gera torque quando a corrente tem componente ortogonal ao vetor de fluxo do ímã; essa relação linear permite transformar torque em corrente e vice-versa. Na prova, muitas vezes basta usar
.
Passo 4
Definir ângulos e orientação dos vetores (passo crítico para desenhar os diagramas).
- O enunciado traz
. Como , o ângulo elétrico do fluxo do ímã é
Portanto o vetor de fluxo permanente
está apontando para
no plano complexo dos fasores.
-
Para obter torque positivo máximo com um rotor não-saliente, a diferença angular entre
e (vetor de corrente) deve satisfazer . Em termos práticos isso significa que a corrente deve estar em quadratura com o fluxo (corrente pura). - Escrevendo
e , o torque é
- Queremos
, i.e. (módulo ). - Com
isso dá
- Escrevendo
-
Portanto o vetor de corrente no espaço (vetor espacial/phasor) será
Interpretando: o vetor corrente aponta para a direção oposta ao eixo real positivo; em relação ao fluxo que aponta a
, está defasado de
, cujo seno é
— produz torque positivo.
Passo 5
Cálculo da reatância e da tensão de contra-eletromotriz (transformar velocidade em grandezas elétricas).
- Converter velocidade mecânica para frequência elétrica e pulsação:
- Reatância síncrona (indutiva) do estator:
Comentário: na prova é comum calcular
e então as quedas
e
para montar o diagrama fasorial de tensões.
Passo 6
Montar os vetores de tensão (cada termo) e somar para obter a tensão de fase necessária
. (Aqui a “aula” explica a equação de tensão fasorial.)
- Equação fasorial de tensão por fase (espaço-fasor estacionário):
Explicação dos termos:
-
é a queda resistiva em fase com a corrente. -
é a queda indutiva (adição de à fase da corrente). -
é a fem induzida (back-emf) devido ao fluxo permanente; note que tem seu próprio ângulo , e multiplicar por desloca a fase de em (fazendo a fem aparecer conforme mostrado a seguir). -
Calculos numéricos termo a termo (usei os valores obtidos acima):
-
. - Queda resistiva:
Escrito como componente complexa:. - Queda indutiva:
Como ée tem ângulo , o termo fica com ângulo (ou ), isto é . - Fem do ímã (back-emf):
- Primeiro calcule
:
- Como
, multiplicar por (adição de ) resulta em
Ou seja, a fem induzida aparece como um vetor real positivo de magnitude no referencial usado. - Primeiro calcule
-
-
Soma vetorial (componentes reais e imaginárias):
- Módulo e ângulo de
:
- Valor eficaz (RMS) da tensão de fase:
Interpretação física: o back-emf de
é a principal contribuição; as quedas resistiva e indutiva se somam geometricamente e reduzem / defasam a tensão total necessária para manter a corrente que produz o torque pedido.
Passo 7
Como desenhar os diagramas (instruções passo a passo para o traço manual — isso serve para a prova).
-
Diagrama de vetor espacial (vetores físicos no plano do rotor):
- Desenhe um plano complexo com eixo real horizontal (0°) e eixo imaginário vertical positivo para cima.
- Coloque
com magnitude apontando para (ou seja, para baixo no eixo imaginário). Rotule: . - Coloque o vetor corrente espacial
com magnitude apontando para (para a esquerda no eixo real). Rotule: . - Observe que
está em quadratura correta para produzir torque positivo máximo (o produto vetorial/ângulo entre eles gera torque). - Se quiser, também marque as posições das fases
(se traçar vetores das correntes de fase): escolha, por exemplo, fase coincidente com o eixo real positivo e desenhe as outras duas defasadas de .
-
Diagrama fasorial de tensão (head-to-tail mostrando
, , e ): - Comece desenhando
: um vetor de magnitude apontando para (para a esquerda). - A partir da extremidade desse vetor desenhe
: um vetor de magnitude apontando para (para baixo). - A partir da extremidade do segundo vetor desenhe
: um vetor de magnitude apontando para (para a direita). - A reta do início da primeira ao fim da terceira é o vetor
, que tem magnitude e ângulo . - Rotule cada vetor com seus valores numéricos para clareza.
- Comece desenhando
Dica prática: para desenhar com proporção, use uma escala (por ex.
=
ou qualquer escala conveniente) e construa vetores por coordenadas reais e imaginárias.
Passo 8
Verificação do torque a partir dos fasores (checagem numérica final).
- Usando
e ,
- Ângulo
e . Logo
confirmando que a escolha de
é consistente com o torque pedido.
Passo 9
Observações finais, suposições e dicas para a prova (motivação e segurança).
-
Suposições feitas (importantíssimo citar na prova):
- Máquina não-saliente (
). Se fosse saliente, haveria termo de relutância . - Usei
e as fórmulas com correntes e fluxos em valores de pico (não em RMS). Converti a RMS só quando necessário para tensão/ corrente eficaz. - Modelo linear com resistência
e indutância constantes.
- Máquina não-saliente (
-
Para a prova: mostre sempre as unidades, converta rpm →
corretamente, calcule a partir de logo no início, escolha a orientação dos vetores (fluxo primeiro), e monte as quedas e para somar com a back-emf . Desenhe vetores reais e imaginários e some componentes reais/ímag. Isso funciona em qualquer questão parecida.
Força aí — esse tipo de exercício é mecânico: se seguir as etapas (converter constantes, obter
, escolher
para o torque, calcular quedas e somar) você resolve em pouco tempo na prova.