1. O motor de 2 polos em um acionamento PMAC tem os seguintes parâmetros: R_{\mathrm{s}}=416 \mathrm{~m} \Omega, L_{\mathrm{s}}=1,365 \mathrm{mH}, e k_{\mathrm{T}}= 95,7 \mathrm{mN} \mathrm{m} / \mathrm{A}. Desenhe os diagramas de vetor espacial e fasorial para esta máquina se ela estiver fornecendo seu torque nominal contínuo de T_{\mathrm{em}}=3,2 \mathrm{Nm} em sua velocidade nominal de 6000 rpm . Assuma que \theta_{\mathrm{m}}(0)=-90^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado pede: desenhar os diagramas de vetor espacial e fasorial quando a máquina estiver entregando o torque nominal contínuo T_{\mathrm{em}}=3,2\\ \mathrm{Nm} a 6000\\ \mathrm{rpm}, com \theta_{\mathrm{m}}(0)=-90^\circ.
  • Dados numéricos (peguei-os do enunciado):
    • R_{\mathrm{s}}=416\\ \mathrm{m}\Omega = 0{,}416\\ \Omega.
    • L_{\mathrm{s}}=1{,}365\\ \mathrm{mH} = 1{,}365\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
    • k_{\mathrm{T}}=95{,}7\\ \mathrm{mN\cdot m/A} = 0{,}0957\\ \mathrm{Nm/A}.
    • Torque requerido \;T_{\mathrm{em}}=3{,}2\\ \mathrm{Nm}.
    • Velocidade mecânica \;6000\\ \mathrm{rpm}.
    • Posição inicial do rotor (ângulo mecânico) \;\theta_{\mathrm{m}}(0)=-90^\circ.
Observação importante (sem resolver ainda): a máquina é um PMAC de 2 polos, logo o número de pares de polos é p=1 e o ângulo elétrico é igual ao ângulo mecânico (ângulo elétrico = ângulo mecânico \times p). A resolução a seguir assume rotor de superfície (não salient) de modo que L_d=L_q=L_s; se a máquina fosse saliente, haveria termo adicional de relutância no torque.

Passo 2

Relação entre constante de torque k_{\mathrm{T}} e fluxo permanente \Psi_{\mathrm{m}}. (Aula rápida e aplicável na prova.)
  • Fórmula básica (para um PM síncrono não-saliente): o torque eletromagnético em regime permanente, quando toda a contribuição vem do fluxo de ímã, pode ser escrito em termos do componente de corrente em quadratura I_q (valor de pico da componente q no referencial do rotor) como
T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{2}\,p\,\Psi_{\mathrm{m}}\,I_q.
Aqui:
  • T_{\mathrm{em}} é o torque eletromagnético (Nm).
  • p é o número de pares de polos (aqui p=1).
  • \Psi_{\mathrm{m}} é o fluxo de ímã ligado ao estator (em V·s ou Wb-turns, valor de pico).
  • I_q é a componente de corrente q no referencial do rotor (valor de pico da corrente).
  • A constante de torque k_{\mathrm{T}} normalmente é definida por
k_{\mathrm{T}}=\frac{3}{2}\,p\,\Psi_{\mathrm{m}}.
Logo podemos extrair \Psi_{\mathrm{m}} a partir de k_{\mathrm{T}}:
\Psi_{\mathrm{m}}=\frac{2}{3}\frac{k_{\mathrm{T}}}{p}.
  • Substituindo p=1 e k_{\mathrm{T}}=0{,}0957\\ \mathrm{Nm/A}:
\Psi_{\mathrm{m}}=\frac{2}{3}\cdot 0{,}0957 = 0{,}0638\\ \mathrm{Wb\cdot turn}\\ (\text{aprox.}).
Comentário prático: é comum em provas pedir para passar de k_T para \Psi_m exatamente por esta relação; decorre diretamente da forma do torque para PMSM não-saliente.

Passo 3

Corrente necessária para produzir o torque pedido (aula e cálculo).
  • Se escolhermos a referência tal que o torque seja produzido somente pela componente I_q (corrente em quadratura com o campo do ímã), então, rearranjando a fórmula do passo anterior:
I_q=\frac{T_{\mathrm{em}}}{k_{\mathrm{T}}}.
  • Substituindo T_{\mathrm{em}}=3{,}2\\ \mathrm{Nm} e k_{\mathrm{T}}=0{,}0957\\ \mathrm{Nm/A}:
I_q=\frac{3{,}2}{0{,}0957}=33{,}44\\ \mathrm{A}\quad(\text{valor de pico}).
  • Conversão para valor eficaz (RMS), útil se for comparar com correntes de placa:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_q}{\sqrt{2}}=\frac{33{,}44}{\sqrt{2}}=23{,}64\\ \mathrm{A}.
Breve explicação intuitiva (didática): o motor gera torque quando a corrente tem componente ortogonal ao vetor de fluxo do ímã; essa relação linear permite transformar torque em corrente e vice-versa. Na prova, muitas vezes basta usar I = T/k_T.

Passo 4

Definir ângulos e orientação dos vetores (passo crítico para desenhar os diagramas).
  • O enunciado traz \theta_{\mathrm{m}}(0)=-90^\circ. Como p=1, o ângulo elétrico do fluxo do ímã é
\theta_{\Psi}=\theta_{\mathrm{m}}(0)=-90^\circ.
Portanto o vetor de fluxo permanente \Psi_{\mathrm{m}} está apontando para -90^\circ no plano complexo dos fasores.
  • Para obter torque positivo máximo com um rotor não-saliente, a diferença angular entre \Psi_{\mathrm{m}} e I_s (vetor de corrente) deve satisfazer \sin(\theta_{\Psi}-\theta_I)=1. Em termos práticos isso significa que a corrente deve estar em quadratura com o fluxo (corrente I_q pura).
    • Escrevendo \Psi_{\mathrm{m}}=\lvert\Psi_{\mathrm{m}}\rvert\angle\theta_{\Psi} e I_s=I\angle\theta_I, o torque é
    T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{2}p\lvert\Psi_{\mathrm{m}}\rvert I\sin(\theta_{\Psi}-\theta_I).
    • Queremos \sin(\theta_{\Psi}-\theta_I)=1, i.e. \theta_{\Psi}-\theta_I=90^\circ (módulo 360^\circ).
    • Com \theta_{\Psi}=-90^\circ isso dá
    -90^\circ-\theta_I = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_I = -180^\circ \equiv 180^\circ.
  • Portanto o vetor de corrente no espaço (vetor espacial/phasor) será
I_s = 33{,}44\angle180^\circ\\ \mathrm{A}\quad(\text{pico}).
Interpretando: o vetor corrente aponta para a direção oposta ao eixo real positivo; em relação ao fluxo que aponta a -90^\circ, está defasado de -90^\circ-180^\circ=-270^\circ, cujo seno é +1 — produz torque positivo.

Passo 5

Cálculo da reatância e da tensão de contra-eletromotriz (transformar velocidade em grandezas elétricas).
  • Converter velocidade mecânica para frequência elétrica e pulsação:
6000\\ \mathrm{rpm}= \frac{6000}{60}=100\\ \mathrm{rps} \Rightarrow f_e=100\\ \mathrm{Hz}.
\omega_e=2\pi f_e = 2\pi\cdot 100 = 200\pi \approx 628{,}3185\\ \mathrm{rad/s}.
  • Reatância síncrona (indutiva) do estator:
X_s=\omega_e L_s = 200\pi\cdot 1{,}365\times 10^{-3}\\ \mathrm{H}=0{,}8579\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
Comentário: na prova é comum calcular X_s e então as quedas R_s I e jX_s I para montar o diagrama fasorial de tensões.

Passo 6

Montar os vetores de tensão (cada termo) e somar para obter a tensão de fase necessária V_s. (Aqui a “aula” explica a equação de tensão fasorial.)
  • Equação fasorial de tensão por fase (espaço-fasor estacionário):
V_s = R_s I_s + j\omega_e L_s I_s + j\omega_e \Psi_{\mathrm{m}}.
Explicação dos termos:
  • R_s I_s é a queda resistiva em fase com a corrente.
  • j\omega_e L_s I_s é a queda indutiva (adição de +90^\circ à fase da corrente).
  • j\omega_e \Psi_{\mathrm{m}} é a fem induzida (back-emf) devido ao fluxo permanente; note que \Psi_{\mathrm{m}} tem seu próprio ângulo \theta_{\Psi}, e multiplicar por j\omega_e desloca a fase de \Psi_{\mathrm{m}} em +90^\circ (fazendo a fem aparecer conforme mostrado a seguir).
  • Calculos numéricos termo a termo (usei os valores obtidos acima):
    • I_s = 33{,}44\angle180^\circ\\ \mathrm{A}.
    • Queda resistiva:
    R_s I_s = 0{,}416\cdot 33{,}44 = 13{,}915\\ \mathrm{V},\quad\text{ângulo }180^\circ.â
    Escrito como componente complexa: -13{,}915 + j0\\ \mathrm{V}.
    • Queda indutiva:
    X_s I = 0{,}8579\cdot 33{,}44 = 28{,}685\\ \mathrm{V}.
    Como é jX_s I_s e I_s tem ângulo 180^\circ, o termo fica com ângulo 180^\circ+90^\circ=270^\circ (ou -90^\circ), isto é 0 - j28{,}685\\ \mathrm{V}.
    • Fem do ímã (back-emf):
      • Primeiro calcule \omega_e\Psi_{\mathrm{m}}:
      \omega_e\Psi_{\mathrm{m}} = 628{,}3185\cdot 0{,}0638 = 40{,}090\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
      • Como \Psi_{\mathrm{m}}=\lvert\Psi_{\mathrm{m}}\rvert\angle(-90^\circ), multiplicar por j (adição de +90^\circ) resulta em
      j\omega_e\Psi_{\mathrm{m}} = 40{,}090\angle(-90^\circ+90^\circ)=40{,}090\angle 0^\circ = 40{,}090 + j0\\ \mathrm{V}.Ou seja, a fem induzida aparece como um vetor real positivo de magnitude 40{,}09\\ \mathrm{V} no referencial usado.
  • Soma vetorial (componentes reais e imaginárias):
    V_s = (-13{,}915 + j0) + (0 - j28{,}685) + (40{,}090 + j0)
V_s = (40{,}090 - 13{,}915) + j(-28{,}685) = 26{,}175 - j28{,}685\\ \mathrm{V}.
  • Módulo e ângulo de V_s: |V_s|=\sqrt{26{,}175^2 + (-28{,}685)^2}=38{,}83\\ \mathrm{V}\\ (\text{valor de pico}),
\angle V_s = \operatorname{atan2}(-28{,}685,\,26{,}175) \approx -47{,}7^\circ.
  • Valor eficaz (RMS) da tensão de fase: V_{s,\mathrm{rms}}=\frac{|V_s|}{\sqrt{2}}=\frac{38{,}83}{\sqrt{2}}=27{,}47\\ \mathrm{V}.
Interpretação física: o back-emf de 40{,}09\\ \mathrm{V} é a principal contribuição; as quedas resistiva e indutiva se somam geometricamente e reduzem / defasam a tensão total necessária para manter a corrente que produz o torque pedido.

Passo 7

Como desenhar os diagramas (instruções passo a passo para o traço manual — isso serve para a prova).
  • Diagrama de vetor espacial (vetores físicos no plano do rotor):
    1. Desenhe um plano complexo com eixo real horizontal (0°) e eixo imaginário vertical positivo para cima.
    2. Coloque \Psi_{\mathrm{m}} com magnitude \;0{,}0638 apontando para -90^\circ (ou seja, para baixo no eixo imaginário). Rotule: \Psi_{\mathrm{m}}=0{,}0638\angle-90^\circ.
    3. Coloque o vetor corrente espacial I_s com magnitude 33{,}44 apontando para 180^\circ (para a esquerda no eixo real). Rotule: I_s=33{,}44\angle180^\circ.
    4. Observe que I_s está em quadratura correta para produzir torque positivo máximo (o produto vetorial/ângulo entre eles gera torque).
    5. Se quiser, também marque as posições das fases a,b,c (se traçar vetores das correntes de fase): escolha, por exemplo, fase a coincidente com o eixo real positivo e desenhe as outras duas defasadas de \pm120^\circ.
  • Diagrama fasorial de tensão (head-to-tail mostrando R_s I_s, jX_s I_s, j\omega\Psi_{\mathrm{m}} e V_s):
    1. Comece desenhando R_s I_s: um vetor de magnitude 13{,}915 apontando para 180^\circ (para a esquerda).
    2. A partir da extremidade desse vetor desenhe jX_s I_s: um vetor de magnitude 28{,}685 apontando para -90^\circ (para baixo).
    3. A partir da extremidade do segundo vetor desenhe j\omega\Psi_{\mathrm{m}}: um vetor de magnitude 40{,}090 apontando para 0^\circ (para a direita).
    4. A reta do início da primeira ao fim da terceira é o vetor V_s, que tem magnitude 38{,}83 e ângulo -47{,}7^\circ.
    5. Rotule cada vetor com seus valores numéricos para clareza.
Dica prática: para desenhar com proporção, use uma escala (por ex. 1\\ \mathrm{V} = 1\\ \mathrm{mm} ou qualquer escala conveniente) e construa vetores por coordenadas reais e imaginárias.

Passo 8

Verificação do torque a partir dos fasores (checagem numérica final).
  • Usando \Psi_{\mathrm{m}}=0{,}0638\angle-90^\circ e I_s=33{,}44\angle180^\circ,
T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{2}p\lvert\Psi_{\mathrm{m}}\rvert I \sin(\theta_{\Psi}-\theta_I).
  • Ângulo \theta_{\Psi}-\theta_I = -90^\circ - 180^\circ = -270^\circ e \sin(-270^\circ)=1. Logo
T_{\mathrm{em}}=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot 0{,}0638\cdot 33{,}44 \approx 3{,}20\\ \mathrm{Nm},
confirmando que a escolha de I_s é consistente com o torque pedido.

Passo 9

Observações finais, suposições e dicas para a prova (motivação e segurança).
  • Suposições feitas (importantíssimo citar na prova):
    • Máquina não-saliente ( L_d=L_q=L_s ). Se fosse saliente, haveria termo de relutância \propto (L_d-L_q)I_d I_q.
    • Usei k_T e as fórmulas com correntes e fluxos em valores de pico (não em RMS). Converti a RMS só quando necessário para tensão/ corrente eficaz.
    • Modelo linear com resistência R_s e indutância L_s constantes.
  • Para a prova: mostre sempre as unidades, converta rpm → \omega corretamente, calcule \Psi_m a partir de k_T logo no início, escolha a orientação dos vetores (fluxo primeiro), e monte as quedas R_s I e j \omega L_s I para somar com a back-emf j\omega\Psi_m. Desenhe vetores reais e imaginários e some componentes reais/ímag. Isso funciona em qualquer questão parecida.
Força aí — esse tipo de exercício é mecânico: se seguir as etapas (converter constantes, obter \Psi_m, escolher I para o torque, calcular quedas e somar) você resolve em pouco tempo na prova.

Resposta

\Psi_{\mathrm{m}}=0{,}0638\angle -90^\circ\\ \mathrm{Wb\cdot turn}
I_s=33{,}44\angle 180^\circ\\ \mathrm{A} (valor de pico)
I_{s,\mathrm{rms}}=23{,}64\\ \mathrm{A}
R_s I_s =13{,}915\angle 180^\circ\\ \mathrm{V}
j\omega L_s I_s =28{,}685\angle -90^\circ\\ \mathrm{V}
j\omega\Psi_{\mathrm{m}}=40{,}090\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
V_s=26{,}175 - j28{,}685 =38{,}83\angle -47{,}7^\circ\\ \mathrm{V} (valor de pico)
V_{s,\mathrm{rms}}=27{,}47\\ \mathrm{V}

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