Em um motor PMAC trifásico de 4 polos, a constante de torque é k_{\mathrm{T}}=500 \mathrm{mNm} / \mathrm{A}. Calcule as correntes elétricas de fase se o motor deve produzir um torque de retenção no sentido anti-horário de 5 Nm para impedir que o rotor, que está em um ângulo de \theta_{\mathrm{m}}=45^{\circ}, gire.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as correntes de fase em um motor PMAC trifásico de 4 polos, sabendo que:
  • A constante de torque é \,k_{\mathrm{T}} = 500\\ \mathrm{mNm/A}.
  • O torque de retenção necessário (no sentido anti-horário) é \,T = 5\\ \mathrm{Nm}.
  • O rotor está em \theta_{\mathrm{m}} = 45^\circ (ângulo mecânico).
  • O objetivo é obter as correntes de fase i_a,\;i_b,\;i_c que produzem esse torque.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
  • \,k_{\mathrm{T}} = 500\\ \mathrm{mNm/A} = 0{,}5\\ \mathrm{Nm/A}.
  • \,T = 5\\ \mathrm{Nm}.
  • número de polos = 4 (isso implica conversão entre ângulo mecânico e elétrico).

Passo 2

Entender a relação torque–corrente usada aqui. Para um motor síncrono de ímã permanente (PMAC) operado com controle de corrente em referência d–q, o torque elétrica útil é proporcional à componente q da corrente (corrente I_q no referencial do rotor). A constante de torque fornecida \,k_{\mathrm{T}} relaciona torque total ao I_q assim:
T = k_{\mathrm{T}}\, I_q.
Aqui:
  • T é o torque (em \mathrm{Nm});
  • k_{\mathrm{T}} é a constante de torque (em \mathrm{Nm/A});
  • I_q é a corrente q-axis (em A).
Logo, para produzir o torque pedido basta escolher a I_q que satisfaça \,I_q = T / k_{\mathrm{T}}.
Calculemos:
I_q = \frac{T}{k_{\mathrm{T}}} = \frac{5}{0{,}5} = 10\\ \mathrm{A}.
Vou assumir a estratégia usual de máxima eficiência: posicionar I_d=0 (componentes d nulas), o que é típico para rotores de superfície (maximiza torque por ampère). Assim só precisamos da I_q.

Passo 3

Converter ângulo mecânico para ângulo elétrico (muito importante!). A transformação d–q usa o ângulo elétrico \theta_e. Com número de polos igual a 4, o número de pares de polos é p = 2. A relação é:
\theta_e = p \,\theta_{\mathrm{m}} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ.
Portanto a referência de fase para as transformações será \theta_e = 90^\circ (ou \pi/2 rad).

Passo 4

Expressar as correntes de fase em função de I_d,\;I_q e do ângulo elétrico \theta_e. A inversa do Park (com I_d=0) dá as correntes fasoriais instantâneas (no sistema de referência de fases convencionais) como:
i_a = -I_q \sin(\theta_e),
i_b = -I_q \sin\bigl(\theta_e - 120^\circ\bigr),
i_c = -I_q \sin\bigl(\theta_e + 120^\circ\bigr).
Explicando um pouco: essas fórmulas vêm da inversa da transformação Park supondo I_d=0; o sinal negativo aparece porque uma corrente q-positiva corresponde a uma distribuição trifásica proporcional a -\sin(\theta_e+\text{fase}) nas fases convencionais (essa é a forma padrão usada aqui).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos: I_q=10\\ \mathrm{A} e \theta_e=90^\circ.
Calcule i_a:
i_a = -10\sin(90^\circ) = -10\cdot 1 = -10\\ \mathrm{A}.
Calcule i_b:
i_b = -10\sin(90^\circ - 120^\circ) = -10\sin(-30^\circ) = -10\cdot(-0{,}5)=+5\\ \mathrm{A}.
Calcule i_c:
i_c = -10\sin(90^\circ + 120^\circ) = -10\sin(210^\circ) = -10\cdot(-0{,}5)=+5\\ \mathrm{A}.
Verificações rápidas e intuíveis:
  • Soma das correntes: -10 + 5 + 5 = 0 (como esperado num sistema trifásico equilibrado).
  • A I_q calculada gera o torque pedido: T = k_{\mathrm{T}} I_q = 0{,}5\cdot 10 = 5\\ \mathrm{Nm}.
  • Os sinais indicam sentido da corrente segundo a convenção; o resultado (i_a,i_b,i_c)=(-10,\;5,\;5)\\ \mathrm{A} corresponde a uma distribuição trifásica que produz torque no sentido anti-horário conforme pedido (mantendo a consistência de sinais da definição de I_q adotada).

Resposta

i_a = -10\\ \mathrm{A}
i_b = +5\\ \mathrm{A}
i_c = +5\\ \mathrm{A}

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