Para um aço, foi determinado que um tratamento térmico de carbonetação com duração (t1) de 15 horas elevará a concentração de carbono ( Cx 1 ) para 0,35%p em um ponto ( x1 ) a 2,0 mm da superfície. Estime otempo (t2) necessário para atingir a mesma concentração ( Cx 2=Cx 1 ) em uma posição ( x2 ) a 6,0 mm da superfície para um aço idêntico e à mesma temperatura de carbonetação (D1=D2).

Passo 1

Beleza, tamo com esse enunciado: num aço, um tratamento de carbonetação leva 15 h (t₁) pra atingir 0,35 %p de C num ponto x₁ = 2 mm. Agora a dúvida é: quanto tempo (t₂) vai levar pra chegar na mesma concentração (0,35 %p) mas em x₂ = 6 mm, com tudo igual (mesma temperatura, mesmo D).
Conteúdo: difusão unidimensional (Lei de Fick) em sólido semi-infinito com concentração de superfície constante.
O que precisamos: a solução de difusão que envolve a “função erro” (erf), e usar a ideia de que, para a mesma C, o argumento de erf tem que ser igual.

Passo 2

A solução da segunda lei de Fick, pra um semi-infinito com conc. de superfície Cs constante e conc. inicial C₀, é:
Aqui:
  • C(x,t) ;=; Cs ;-;(Cs - C0),erf!gl(x2raizD,tgr) = coeficiente de difusão (é o mesmo em t₁ e t₂),
  • = profundidade,
  • = tempo,
  • = função erro.

Passo 3

Como queremos a mesma concentração x12raizD,t1 ;=; x22raizD,t2 em x₁ e x₂, o valor do argumento da função erro tem de ser igual nas duas situações, ou seja:
x1raizt1 ;=; x2raizt2 Longrightarrow raizt2 ;=; raizt1,x2x1 Longrightarrow t2 ;=; t1,l(x2x1r)^2
Simplificando (o 2 e o √D somem dos dois lados):

Passo 4

Agora é só botar os números:
  • t2 ;=; 15;gl(6,02,0gr)^2 ;=; 15;l(3r)^2 ;=; 15;times 9 ;=; 135;h h
  • mm
  • mm

Resposta

horas

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