O que acontece COM A DIREÇÃO E O SENTIDO de um vetor se esse for:
i)
ponto) multiplicado por
?
i)
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a direção e com o sentido de um vetor quando ele é multiplicado pelo escalar
.
Informações dadas: o escalar que multiplica o vetor é . Não há outras informações (por exemplo, qual vetor), então a resposta deve ser em termos gerais para qualquer vetor
.
Informações dadas: o escalar que multiplica o vetor é
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significam “direção” e “sentido” de um vetor, de um jeito bem direto.
- Direção: é a linha ao longo da qual o vetor aponta — imagine a reta que contém a seta do vetor. Dois vetores têm a mesma direção quando são paralelos (ou colineares).
- Sentido: é para qual lado da reta o vetor aponta — por exemplo, “para a direita” ou “para a esquerda” numa mesma reta. Dois vetores têm mesmo sentido se apontam para o mesmo lado; têm sentido oposto se apontam em lados contrários.
Passo 3
Agora a regra de multiplicação por escalar, explicada passo a passo e sem pulo: seja um vetor
e um escalar
. O produto
tem duas propriedades fundamentais:
- O módulo (comprimento) de
vale vezes o módulo de . Em notação, . Aqui significa o comprimento do vetor e é o valor absoluto de . Isso significa que a multiplicação por um escalar muda o tamanho do vetor pelo fator . - O sinal de
determina o sentido: se , o sentido não muda; se , o sentido inverte. Em todos os casos o vetor é paralelo a (ou seja, tem a mesma direção ou a direção oposta, mais precisamente: está na mesma reta).
Passo 4
Aplicando para
:
- O valor absoluto é
. Logo o módulo do vetor resultante fica reduzido a metade: . - Como
é negativo ( ), o sentido do vetor inverte-se: o vetor resultante aponta para o lado oposto na mesma reta. - A direção (a reta ao longo da qual o vetor está) permanece a mesma no sentido de colinearidade:
é paralelo a .
Passo 5
Exemplo numérico para visualizar (faça igual na prova se precisar): escolha
.
Calcule :
Observe: é exatamente
vezes
, então estão na mesma reta (mesma direção de reta) mas apontam em sentidos contrários (porque as coordenadas trocaram de sinal). Os comprimentos satisfazem
, confirmando a redução para metade.
Calcule
Observe:
Passo 6
Dica rápida para prova (frase curta e prática): quando ver multiplicação por escalar, responda em três palavras mentais: fator (tamanho) =
, direção = paralelo, sentido = trocar se
. No caso de
: fator
, direção paralela, sentido invertido. Força aí — você consegue!
Resposta
Direção: permanece a mesma (o vetor resultante é paralelo ao original).
Sentido: inverte-se (o vetor resultante aponta no sentido oposto).
Sentido: inverte-se (o vetor resultante aponta no sentido oposto).