Exercício
A força
tem as componentes
. Determine sua intensidade Fe os ângulos que essa força F forma com os eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado dá as componentes da força
e pede a intensidade (módulo) dessa força e os ângulos que ela forma com os eixos coordenados. Dados fornecidos:
As perguntas que preciso responder são:
onde
é o ângulo entre
e o eixo
,
entre
e o eixo
, e
entre
e o eixo
.
Passo 2
Como calcular a intensidade (módulo) de um vetor dado por suas componentes. Se um vetor em 3D tem componentes
, o módulo
é dado pela “fórmula de Pitágoras em 3D”:
Explicação rápida: cada componente é a projeção do vetor em um eixo; elevar ao quadrado, somar e tirar raiz é o mesmo que aplicar o teorema de Pitágoras sucessivamente para obter a distância da origem até o ponto
.
Passo 3
Calculo do módulo com os números do enunciado. Primeiro os quadrados:
Somando:
Portanto
Note que
(porque
), então
Passo 4
Como calcular os ângulos com os eixos. A relação entre a componente e o ângulo com o eixo correspondente vem da definição de cosseno: a componente
é igual ao módulo vezes o cosseno do ângulo
com o eixo
. Em fórmula:
Motivação curta: o produto escalar de
com o versor do eixo
(que é
) dá
. Mesma ideia para os outros eixos.
Passo 5
Calculando as razões (cossenos) com os valores já obtidos:
É útil notar as frações simples
— isso facilita checar contas.
Passo 6
Passo para os ângulos propriamente ditos: aplicamos a função arco-cosseno (
) e tomamos os ângulos em graus (o enunciado normalmente pede graus). Usando uma calculadora científica ou tabela:
Dica prática para a prova: calcule primeiro os cossenos (frações simples) e só então aplique
; mantenha uma casa decimal razoável se a prova permite.
Passo 7
Cheque rápido de consistência: para um vetor em 3D os cossenos diretores satisfazem
Substituindo as frações:
o que confirma que nossos cossenos e, portanto, os ângulos estão corretos.