Exercício

A força F tem as componentes F x=90 \mathrm{~N}, F y=-135 \mathrm{~N}, F z=270 \mathrm{~N}. Determine sua intensidade Fe os ângulos que essa força F forma com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da força \mathbf{F} e pede a intensidade (módulo) dessa força e os ângulos que ela forma com os eixos coordenados. Dados fornecidos:
F_x=90\\ \mathrm{N},\qquad F_y=-135\\ \mathrm{N},\qquad F_z=270\\ \mathrm{N}.
As perguntas que preciso responder são:
\text{(a) }|\mathbf{F}|=\\ ?\qquad\text{(b) } \alpha,\\ \beta,\\ \gamma\\ =\\ ?
onde \alpha é o ângulo entre \mathbf{F} e o eixo x, \beta entre \mathbf{F} e o eixo y, e \gamma entre \mathbf{F} e o eixo z.

Passo 2

Como calcular a intensidade (módulo) de um vetor dado por suas componentes. Se um vetor em 3D tem componentes F_x,\;F_y,\;F_z, o módulo |\mathbf{F}| é dado pela “fórmula de Pitágoras em 3D”:
|\mathbf{F}|=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}+F_z^{2}}.
Explicação rápida: cada componente é a projeção do vetor em um eixo; elevar ao quadrado, somar e tirar raiz é o mesmo que aplicar o teorema de Pitágoras sucessivamente para obter a distância da origem até o ponto (F_x,F_y,F_z).

Passo 3

Calculo do módulo com os números do enunciado. Primeiro os quadrados:
F_x^{2}=90^{2}=8100,
F_y^{2}=(-135)^{2}=18225,
F_z^{2}=270^{2}=72900.
Somando:
8100+18225+72900=99225.
Portanto
|\mathbf{F}|=\sqrt{99225}.
Note que 99225=315^{2} (porque 315\cdot315=99225), então
|\mathbf{F}|=315\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Como calcular os ângulos com os eixos. A relação entre a componente e o ângulo com o eixo correspondente vem da definição de cosseno: a componente F_x é igual ao módulo vezes o cosseno do ângulo \alpha com o eixo x. Em fórmula:
\cos\alpha=\frac{F_x}{|\mathbf{F}|},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{|\mathbf{F}|},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{|\mathbf{F}|}.
Motivação curta: o produto escalar de \mathbf{F} com o versor do eixo x (que é (1,0,0)) dá F_x=|\mathbf{F}|\cos\alpha. Mesma ideia para os outros eixos.

Passo 5

Calculando as razões (cossenos) com os valores já obtidos:
\cos\alpha=\frac{90}{315}=\frac{2}{7}\approx 0,285714,
\cos\beta=\frac{-135}{315}=-\frac{3}{7}\approx -0,428571,
\cos\gamma=\frac{270}{315}=\frac{6}{7}\approx 0,857143.
É útil notar as frações simples \tfrac{2}{7},-\tfrac{3}{7},\tfrac{6}{7} — isso facilita checar contas.

Passo 6

Passo para os ângulos propriamente ditos: aplicamos a função arco-cosseno ( \operatorname{arccos}) e tomamos os ângulos em graus (o enunciado normalmente pede graus). Usando uma calculadora científica ou tabela:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{7}\right)\approx 73,6^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{3}{7}\right)\approx 115,4^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{6}{7}\right)\approx 31,0^\circ.
Dica prática para a prova: calcule primeiro os cossenos (frações simples) e só então aplique \operatorname{arccos}; mantenha uma casa decimal razoável se a prova permite.

Passo 7

Cheque rápido de consistência: para um vetor em 3D os cossenos diretores satisfazem
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
Substituindo as frações:
\left(\tfrac{2}{7}\right)^{2}+\left(-\tfrac{3}{7}\right)^{2}+\left(\tfrac{6}{7}\right)^{2}=\frac{4+9+36}{49}=\frac{49}{49}=1,
o que confirma que nossos cossenos e, portanto, os ângulos estão corretos.

Resposta

|\mathbf{F}|=315\\ \mathrm{N}\n
\alpha\approx 73,6^\circ\n
\beta\approx 115,4^\circ\n
\gamma\approx 31,0^\circ

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