Uma viga de aço está conectada a uma coluna através de uma conexão de 5 parafusos, distribuídos simetricamente. Os parafusos são feitos de um material que podem suportar no máximo 300 MPa , determine o diâmetro mínimo do parafuso, em mm, que pode ser usado na conexão, sabendo que a força aplicada \mathrm{P}=100 kN. (1,8 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro mínimo do parafuso, em mm, que pode ser usado na conexão. Informações dadas:
P=100\\ \text{kN},
\text{número de parafusos}=5,ú
\sigma_{\text{máx do material}}=300\\ \text{MPa}.á
Devemos usar essas informações para calcular o menor diâmetro que mantenha a tensão nos parafusos abaixo de 300\\ \text{MPa}.

Passo 2

Assumimos que, por estarem distribuídos simetricamente, os parafusos compartilham a carga igualmente. Então a força que fica em cada parafuso é
F_b=\frac{P}{5}.
Converter P para unidades SI (newtons):
P=100\\ \text{kN}=100000\\ \text{N},
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F_b=\frac{100000}{5}=20000\\ \text{N}.

Passo 3

Apresento a fórmula fundamental da resistência à tração que vamos usar:
\sigma=\frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão (em Pa), F é a força (em N) e A é a área da seção transversal do parafuso (em m^2). Para segurança precisamos garantir
\sigma \le 300\\ \text{MPa}=300\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Então a área necessária do parafuso deve satisfazer
A\ge\frac{F_b}{\sigma_{\max}}.

Passo 4

Calculo a área mínima exigida:
A_{\min}=\frac{F_b}{\sigma_{\max}}=\frac{20000}{300\times10^{6}}\\ \text{m}^2.
Fazendo a divisão:
A_{\min}=6{,}6666666667\times10^{-5}\\ \text{m}^2.
Como é mais prático trabalhar em \text{mm}^2 para obter o diâmetro em mm, converto multiplicando por 10^{6}:
A_{\min}=66{,}6666666667\\ \text{mm}^2.

Passo 5

A área da seção circular de um parafuso de diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d está em mm se A estiver em \text{mm}^2. Isolando d obtemos
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Substituo A_{\min}:
d_{\min}=\sqrt{\frac{4\cdot 66{,}6666666667}{\pi}}\\ \text{mm}.

Passo 6

Faço a conta numérica:
d_{\min}=\sqrt{\frac{266{,}6666666668}{\pi}}\\ \text{mm}\approx 9{,}21\\ \text{mm}.
Interpretação prática: o diâmetro mínimo calculado é 9{,}21\\ \text{mm}. Na prática escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente superior (por exemplo 10\\ \text{mm}) para garantir folga de fabricação e segurança.

Resposta

d_{\min}=9{,}21\\ \mathrm{mm}

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