O que acontece com A DIREÇÃO E O SENTIDO de um vetor se esse for multiplicado por (-2)?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que acontece com a DIREÇÃO e o SENTIDO de um vetor quando esse vetor é multiplicado pelo escalar -2.
Dados fornecidos: um vetor qualquer \mathbf{v} e o escalar -2. Nada mais foi fornecido — você deve responder em termos gerais para qualquer \mathbf{v}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é multiplicar um vetor por um escalar. Se temos um vetor \mathbf{v} e um número (escalar) k, o produto escalar é o vetor k\mathbf{v}. Esse produto age em duas coisas principais:
\text{(i)}\quad \text{módulo: } \|k\mathbf{v}\| = |k|\,\|\mathbf{v}\|ó
\text{(ii)}\quad \text{direção e sentido: } k\mathbf{v} \text{ é colinear com } \mathbf{v}; \text{ se }k>0\text{ conserva o sentido, se }k<0\text{ inverte o sentido.}çãé
Vou explicar por que essas duas afirmações são verdadeiras em linguagem simples.

Passo 3

Explicando o módulo (comprimento) com detalhe: escrevemos o vetor como \mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|\mathbf{u}, onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v} (ou seja \|\mathbf{u}\|=1). Então
(-2)\mathbf{v}=(-2)\big(\|\mathbf{v}\|\mathbf{u}\big)=\big(2\|\mathbf{v}\|\big)(-\,\mathbf{u}).
Da expressão acima vemos duas coisas: o comprimento passa a ser 2\|\mathbf{v}\| (isso é o fator 2 vindo do valor absoluto de -2) e o vetor direcional ficou -\mathbf{u} (o sinal negativo aplicado ao vetor unitário).

Passo 4

O que significa -\mathbf{u}? Significa que o vetor resultante está sobre a mesma reta que \mathbf{v} (mesma direção geométrica), mas apontando para o lado oposto — isto é, o sentido foi invertido. Em linguagem do enunciado:
  • direção: permanece a mesma reta (os vetores são colineares);
  • sentido: inverte (vai para o lado contrário ao de \mathbf{v}).

Passo 5

Mostração alternativa rápida com coordenadas (exemplo concreto): se \mathbf{v}=(1,3) então
(-2)\mathbf{v}=(-2, -6).
Observe que (-2,-6) é múltiplo escalar de (1,3) (colinear) e os componentes mudaram de sinal, apontando em sentido contrário. O módulo obedece
\|(-2)\mathbf{v}\|=2\|\mathbf{v}\|.

Passo 6

Outra verificação com produto escalar (intuitiva sobre sentido): o produto escalar \mathbf{v}\cdot((-2)\mathbf{v})=-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=-2\|\mathbf{v}\|^{2}, que é negativo (quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}). Produto escalar negativo indica que o ângulo entre \mathbf{v} e (-2)\mathbf{v} é maior que 90^\circ; de fato é 180^\circ, isto é, sentido contrário.

Passo 7

Dica prática para prova (grava na cabeça): multiplicar por um escalar negativo sempre inverte o sentido; o valor absoluto do escalar multiplica o comprimento. Então para -2 você sempre tem: comprimento multiplicado por 2 e sentido invertido; a direção (reta que contém o vetor) permanece a mesma.

Resposta

A direção permanece a mesma (os vetores são colineares) e o sentido inverte; além disso o módulo fica multiplicado por 2.

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