[20 pts] Determine a area da região delimitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado nos dá três curvas:
,
e
. Pede-se determinar a área da região delimitada por essas três curvas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As equações das curvas são
, e . - A pergunta é: qual é a área da região fechada que tem essas três curvas como fronteira?
Passo 2
Primeiro passo prático: achar os pontos de interseção entre cada par de curvas. Isso é necessário porque a área será obtida por integração entre os limites de
onde as curvas se encontram.
Interseção de
com
:
Logo as soluções são
. Os pontos de interseção correspondentes são
,
e
.
Interseção de
com
:
Logo
e
. Os pontos são
e \left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right).
Interseção de
com
:
Assim
e as raízes de
, que são
Denotamos a raiz negativa por
e a positiva por
. Os pontos de interseção relevantes, próximos ao eixo negativo, são
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender qual é a região fechada formada por essas interseções. Observando os pontos:
-
é interseção de e . -
é interseção de e . -
com é interseção de e .
Esses três pontos
,
,
formam uma pequena região fechada: entre
e
as três curvas se cruzam de modo que a fronteira superior é dada por duas curvas em partes (primeiro
até
, depois
até
) e a fronteira inferior é a reta
. Portanto, é natural calcular a área usando integração em
, separando onde a fronteira superior muda de função (isto é, no ponto
).
Resumo útil:
- Intervalo total em
que contém a região: de até . - A fronteira superior é
para e é para . - A fronteira inferior é
para todo o intervalo .
Passo 4
Fórmula da área entre duas curvas (aula curta e prática):
Se em um intervalo a curva superior é
e a curva inferior é
, então a área da região entre elas é
Se em um intervalo
Aqui usamos isso com divisão em dois subintervalos por causa da mudança de qual curva é superior em
.
Passo 5
Escrever a área como soma de dois integrais (cada um com uma função superior diferente):
onde
. Simplificando os integrandos:
Passo 6
Calcular o primeiro integral:
Avaliado de
a
:
pois o termo na borda inferior é zero.
Calcular o segundo integral:
Avaliado de
a
:
Calcule as potências de
:
Portanto
Assim
Passo 7
Somando
obtemos a área:
Agrupando termos em
:
Agora usamos a relação que
satisfaz, porque
é raiz de
(vinda da interseção entre
e
para
). Assim:
Com isso podemos reduzir potências maiores de
em termos de
e constantes:
Passo 8
Substituindo essas expressões em
:
Calcule termo a termo:
Somando os coeficientes de
:
Somando constantes:
Portanto
Substituindo
:
E
. Assim as partes racionais somam
Subtraindo
e combinando racionalmente resulta em
Logo a expressão final exata é
Para verificar numericamente:
então