[20 pts] Determine a area da região delimitada pelas curvas y=x^{3} \quad 3 x^{2}+3 x \quad e \quad y=x

Passo 1

O enunciado nos dá três curvas: y=x^{3}, y=3x^{2}+3x e y=x. Pede-se determinar a área da região delimitada por essas três curvas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As equações das curvas são y=x^{3}, y=3x^{2}+3x e y=x.
  • A pergunta é: qual é a área da região fechada que tem essas três curvas como fronteira?

Passo 2

Primeiro passo prático: achar os pontos de interseção entre cada par de curvas. Isso é necessário porque a área será obtida por integração entre os limites de x onde as curvas se encontram.
Interseção de y=x com y=x^{3}:
x = x^{3} \implies x^{3}-x=0 \implies x(x^{2}-1)=0
Logo as soluções são x= -1,\;0,\;1. Os pontos de interseção correspondentes são (-1,-1), (0,0) e (1,1).
Interseção de y=x com y=3x^{2}+3x:
x = 3x^{2}+3x \implies 3x^{2}+2x=0 \implies x(3x+2)=0
Logo x=0 e x=-\tfrac{2}{3}. Os pontos são (0,0) e \left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right).
Interseção de y=x^{3} com y=3x^{2}+3x:
x^{3} = 3x^{2}+3x \implies x^{3}-3x^{2}-3x=0 \implies x\,(x^{2}-3x-3)=0.
Assim x=0 e as raízes de x^{2}-3x-3=0, que são
x = \frac{3\pm\sqrt{21}}{2}.
Denotamos a raiz negativa por
a = \frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,7915,
e a positiva por \dfrac{3+\sqrt{21}}{2}\approx 3,7915. Os pontos de interseção relevantes, próximos ao eixo negativo, são (a,\,a^{3}) e (0,0).

Passo 3

Agora, vamos entender qual é a região fechada formada por essas interseções. Observando os pontos:
  • A=(-1,-1) é interseção de y=x e y=x^{3}.
  • B=\left(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right) é interseção de y=x e y=3x^{2}+3x.
  • D=\left(a,\,a^{3}\right) com a=\dfrac{3-\sqrt{21}}{2} é interseção de y=x^{3} e y=3x^{2}+3x.
Esses três pontos A, D, B formam uma pequena região fechada: entre x=-1 e x=-\tfrac{2}{3} as três curvas se cruzam de modo que a fronteira superior é dada por duas curvas em partes (primeiro y=3x^{2}+3x até x=a, depois y=x^{3} até x=-\tfrac{2}{3}) e a fronteira inferior é a reta y=x. Portanto, é natural calcular a área usando integração em x, separando onde a fronteira superior muda de função (isto é, no ponto x=a).
Resumo útil:
  • Intervalo total em x que contém a região: de -1 até -\tfrac{2}{3}.
  • A fronteira superior é y=3x^{2}+3x para x\in[-1,a] e é y=x^{3} para x\in[a,-\tfrac{2}{3}].
  • A fronteira inferior é y=x para todo o intervalo [-1,-\tfrac{2}{3}].

Passo 4

Fórmula da área entre duas curvas (aula curta e prática):
Se em um intervalo [p,q] a curva superior é y_{top}(x) e a curva inferior é y_{bot}(x), então a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{p}^{q}\bigl(y_{top}(x)-y_{bot}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui usamos isso com divisão em dois subintervalos por causa da mudança de qual curva é superior em x=a.

Passo 5

Escrever a área como soma de dois integrais (cada um com uma função superior diferente):
\text{Área}=\int_{-1}^{a}\bigl((3x^{2}+3x)-x\bigr)\,dx \;+\; \int_{a}^{-2/3}\bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx,Á
onde a=\dfrac{3-\sqrt{21}}{2}. Simplificando os integrandos:
(3x^{2}+3x)-x = 3x^{2}+2x, \qquad x^{3}-x = x^{3}-x.

Passo 6

Calcular o primeiro integral:
\int (3x^{2}+2x)\,dx = x^{3}+x^{2} + C.
Avaliado de -1 a a:
I_{1} = \bigl[a^{3}+a^{2}\bigr]-\bigl[(-1)^{3}+(-1)^{2}\bigr] = a^{3}+a^{2} -(-1+1) = a^{3}+a^{2},
pois o termo na borda inferior é zero.
Calcular o segundo integral:
\int (x^{3}-x)\,dx = \frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2} + C.
Avaliado de a a -\tfrac{2}{3}:
I_{2} = \left(\frac{1}{4}\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{4}-\frac{1}{2}\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}\right) - \left(\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}\right).
Calcule as potências de -\tfrac{2}{3}:
\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9},\qquad \left(-\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\tfrac{16}{81}.
Portanto
\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{81}-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{81}-\frac{2}{9}=\frac{4}{81}-\frac{18}{81}=-\frac{14}{81}.
Assim
I_{2} = -\frac{14}{81} -\left(\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}\right).

Passo 7

Somando I_{1}+I_{2} obtemos a área:
\text{Área} = a^{3}+a^{2} -\frac{14}{81} -\frac{1}{4}a^{4} +\frac{1}{2}a^{2}.Á
Agrupando termos em a:
\text{Área} = -\frac{1}{4}a^{4} + a^{3} + \frac{3}{2}a^{2} - \frac{14}{81}.Á
Agora usamos a relação que a satisfaz, porque a é raiz de x^{2}-3x-3=0 (vinda da interseção entre x^{3} e 3x^{2}+3x para x\neq0). Assim:
a^{2} = 3a+3.
Com isso podemos reduzir potências maiores de a em termos de a e constantes:
a^{3} = a\cdot a^{2} = a(3a+3)=3a^{2}+3a = 3(3a+3)+3a = 12a+9,
a^{4} = (a^{2})^{2}=(3a+3)^{2}=9a^{2}+18a+9=9(3a+3)+18a+9=45a+36.

Passo 8

Substituindo essas expressões em \text{Área}Á:
\text{Área} = -\frac{1}{4}(45a+36) + (12a+9) + \frac{3}{2}(3a+3) - \frac{14}{81}.Á
Calcule termo a termo:
-\frac{1}{4}(45a+36) = -\frac{45}{4}a -9,
12a+9 \quad\text{(já está)},áá
\frac{3}{2}(3a+3)=\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}.
Somando os coeficientes de a:
-\frac{45}{4}a + 12a + \frac{9}{2}a = \left(-\frac{45}{4} + \frac{48}{4} + \frac{18}{4}\right)a = \frac{21}{4}a.
Somando constantes:
-9 + 9 + \frac{9}{2} = \frac{9}{2}.
Portanto
\text{Área} = \frac{21}{4}a + \frac{9}{2} - \frac{14}{81}.Á
Substituindo a=\dfrac{3-\sqrt{21}}{2}:
\frac{21}{4}a = \frac{21}{4}\cdot\frac{3-\sqrt{21}}{2} = \frac{21}{8}(3-\sqrt{21}) = \frac{63}{8}-\frac{21\sqrt{21}}{8}.
E \dfrac{9}{2}=\dfrac{36}{8}. Assim as partes racionais somam
\frac{63}{8}+\frac{36}{8}=\frac{99}{8}.
Subtraindo \dfrac{14}{81} e combinando racionalmente resulta em
\frac{99}{8}-\frac{14}{81}=\frac{7907}{648}.
Logo a expressão final exata é
\text{Área} = \frac{7907}{648} - \frac{21\sqrt{21}}{8}.Á
Para verificar numericamente:
\frac{7907}{648}\approx 12{,}2052469,\qquad \frac{21\sqrt{21}}{8}\approx 12{,}027^{-}\!,
então
\text{Área}\approx 0{,}178248\\ \text{(unidades de área)}.Áá

Resposta

\text{Área}=\frac{7907}{648}-\frac{21\sqrt{21}}{8}\approx 0{,}178248Á

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