[20 \mathrm{pts}] Determine a integral \int \frac{6 x+8}{x^{3}+4 x} d x.
Dica: decomposição em frações parciais, e se necessário use o resultado da Questão 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6x+8}{x^{3}+4x}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função a integrar é uma função racional (quociente de polinômios).
  • O numerador é \;6x+8\; e o denominador é \;x^{3}+4x\;.
  • É provável que seja útil fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais (dica do enunciado).
  • Não há outras condições; buscamos uma antiderivada geral (com constante de integração).

Passo 2

Fatorar o denominador para ver a estrutura que permitirá a decomposição em frações parciais.
x^{3}+4x = x(x^{2}+4).
Aqui tenho um fator linear \;x\; e um fator quadrático \;x^{2}+4\;. Note que \;x^{2}+4\; é irreduzível sobre os reais (porque não tem raízes reais).

Passo 3

Escolher a forma da decomposição em frações parciais. Regra prática: para cada fator linear distinto \;(ax+b)\; usamos uma constante \;A/(ax+b)\;; para cada fator quadrático irreduzível de grau 2 usamos um termo com numerador linear \;(Bx+C)/(quadrático)á.
Como temos fatores x e x^{2}+4, a decomposição tem a forma
\frac{6x+8}{x(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4},
onde \;A,B,C\; são constantes a determinar. Observação: esta forma garante que os numeradores tenham grau menor que os denominadores dos respectivos termos.

Passo 4

Determinar \;A,B,C\; multiplicando ambos os lados pela expressão x(x^{2}+4) (ou seja, “limpando” os denominadores):
6x+8 = A(x^{2}+4) + (Bx + C)x.
Expandindo o lado direito:
6x+8 = A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x.
Agrupando termos por potências de x:
6x+8 = (A+B)x^{2} + C x + 4A.
Agora igualamos coeficientes de potências correspondentes (porque duas polinômios iguais têm coeficientes iguais termo a termo):
  • Coeficiente de x^{2}: A + B = 0.
  • Coeficiente de x^{1}: C = 6.
  • Termo constante: 4A = 8.
Resolvendo:
  • De 4A = 8 vem A = 2.
  • Então B = -A = -2.
  • E C = 6 já encontrado.
Portanto \;A=2,\;B=-2,\;C=6.

Passo 5

Reescrevemos a integral usando a decomposição encontrada:
\frac{6x+8}{x(x^{2}+4)} = \frac{2}{x} + \frac{-2x+6}{x^{2}+4}.
Logo
\int \frac{6x+8}{x^{3}+4x}\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx + \int \frac{-2x}{x^{2}+4}\,dx + \int \frac{6}{x^{2}+4}\,dx.
Dividimos a integral em três partes mais simples, que vamos resolver uma a uma.

Passo 6

Integrar \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx.
Fórmula usada: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Aqui o fator 2 sai da integral:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
Explicação rápida: \ln|x| é antiderivada de 1/x para x\neq0; o valor absoluto garante definição para x<0.

Passo 7

Integrar \displaystyle \int \frac{-2x}{x^{2}+4}\,dx.
Método: substituição (u-substitution). Seja \;u = x^{2}+4. Então \;du = 2x\,dx, ou seja \;x\,dx = \tfrac{1}{2}du. No nosso integrando temos -2x\,dx, que é -1 vezes 2x\,dx. Assim:
\int \frac{-2x}{x^{2}+4}\,dx = -\int \frac{2x\,dx}{x^{2}+4} = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.
Voltando para x:
-\ln|x^{2}+4| + C.
Observação: como x^{2}+4>0 para todo x, podemos remover barras de valor absoluto nesse caso: \ln(x^{2}+4) é bem definido, mas deixo a notação com valor absoluto por consistência geral. Para simplificar depois, usarei \ln(x^{2}+4).

Passo 8

Integrar \displaystyle \int \frac{6}{x^{2}+4}\,dx.
Usamos a fórmula padrão para arctangente:
Fórmula: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C, onde a>0.
Aqui temos a^{2}=4, logo a=2. Portanto
\int \frac{6}{x^{2}+4}\,dx = 6 \int \frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,dx = 6\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = 3\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 9

Somando os resultados das três integrais parciais:
  • \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  • \displaystyle \int \frac{-2x}{x^{2}+4}\,dx = -\ln(x^{2}+4).
  • \displaystyle \int \frac{6}{x^{2}+4}\,dx = 3\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Logo uma antiderivada geral é
2\ln|x| - \ln(x^{2}+4) + 3\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração. (Opcionalmente podemos combinar os logaritmos: 2\ln|x| - \ln(x^{2}+4) = \ln\!\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+4}\right).)

Resposta

2\ln|x| - \ln(x^{2}+4) + 3\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C

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