Determine a integral
.
Dica: decomposição em frações parciais, e se necessário use o resultado da Questão 4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e observações importantes:
- A função a integrar é uma função racional (quociente de polinômios).
- O numerador é
e o denominador é . - É provável que seja útil fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais (dica do enunciado).
- Não há outras condições; buscamos uma antiderivada geral (com constante de integração).
Passo 2
Fatorar o denominador para ver a estrutura que permitirá a decomposição em frações parciais.
Aqui tenho um fator linear
e um fator quadrático
. Note que
é irreduzível sobre os reais (porque não tem raízes reais).
Passo 3
Escolher a forma da decomposição em frações parciais. Regra prática: para cada fator linear distinto
usamos uma constante
; para cada fator quadrático irreduzível de grau 2 usamos um termo com numerador linear
.
Como temos fatores
e
, a decomposição tem a forma
onde
são constantes a determinar. Observação: esta forma garante que os numeradores tenham grau menor que os denominadores dos respectivos termos.
Passo 4
Determinar
multiplicando ambos os lados pela expressão
(ou seja, “limpando” os denominadores):
Expandindo o lado direito:
Agrupando termos por potências de
:
Agora igualamos coeficientes de potências correspondentes (porque duas polinômios iguais têm coeficientes iguais termo a termo):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo:
- De
vem . - Então
. - E
já encontrado.
Portanto
.
Passo 5
Reescrevemos a integral usando a decomposição encontrada:
Logo
Dividimos a integral em três partes mais simples, que vamos resolver uma a uma.
Passo 6
Integrar
.
Fórmula usada:
. Aqui o fator
sai da integral:
Explicação rápida:
é antiderivada de
para
; o valor absoluto garante definição para
.
Passo 7
Integrar
.
Método: substituição (u-substitution). Seja
. Então
, ou seja
. No nosso integrando temos
, que é
vezes
. Assim:
Voltando para
:
Observação: como
para todo
, podemos remover barras de valor absoluto nesse caso:
é bem definido, mas deixo a notação com valor absoluto por consistência geral. Para simplificar depois, usarei
.
Passo 8
Integrar
.
Usamos a fórmula padrão para arctangente:
Fórmula:
onde
.
Aqui temos
, logo
. Portanto
Passo 9
Somando os resultados das três integrais parciais:
-
. -
. -
.
Logo uma antiderivada geral é
onde
é a constante de integração. (Opcionalmente podemos combinar os logaritmos:
.)