O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo \Sigma\left(a_{n}+b_{n}\right) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas sobre séries numéricas e usa conceitos de convergência e divergência. Primeiro, quer saber o que ocorre se acrescentarmos ou suprimirmos um número finito de termos de uma série que já é divergente. Em seguida, pergunta: se \sum a_n converge e \sum b_n diverge, qual o comportamento de \sum (a_n + b_n)? Para responder, vamos usar a definição de convergência de séries em termos de somas parciais e a propriedade de linearidade (ou quase linearidade) das séries.

Passo 2

Suponha que \sum_{n=1}^{\infty} a_n seja divergente, isto é, suas somas parciais
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n
não tendem a um número finito quando N\to\infty. Se formos adicionar um número finito de termos a_{N+1},a_{N+2},\dots,a_{N+k}, a nova soma parcial até M\ge N+k fica
S'_M=\sum_{n=1}^{M} a_n =\sum_{n=1}^{N}a_n+\sum_{n=N+1}^{N+k}a_n+\sum_{n=N+k+1}^{M}a_n =S_M + C,
onde C=\sum_{n=N+1}^{N+k}a_n é constante (independente de M). Como S_M diverge, S_M + C também diverge.

Passo 3

De modo análogo, se retirarmos os primeiros k termos de \sum a_n, ou seja, considerarmos
T_M = \sum_{n=k+1}^{M} a_n =\sum_{n=1}^{M}a_n-\sum_{n=1}^{k}a_n =S_M - D,
com D=\sum_{n=1}^{k}a_n constante, ainda temos que T_M diverge sempre que S_M diverge. Concluímos que adicionar ou retirar um número finito de termos não altera o fato de uma série ser divergente.

Passo 4

Agora, seja \sum a_n convergente e \sum b_n divergente. Denotemos
A = \sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{(número finito)},ú
B_N = \sum_{n=1}^{N}b_n \quad\text{(não converge quando \(N\to\infty\))}.ã
A soma termo a termo tem somas parciais
C_N = \sum_{n=1}^{N}(a_n+b_n) =\sum_{n=1}^{N}a_n + \sum_{n=1}^{N}b_n =A_N + B_N,
onde A_N\to A e B_N diverge. Logo
\lim_{N\to\infty}C_N =\lim_{N\to\infty}(A_N + B_N) =A + \lim_{N\to\infty}B_N,
e como \lim_{N\to\infty}B_N não existe (ou é infinito em valor absoluto), a soma C_N também não converge.

Resposta

  1. Acrescentar ou retirar um número finito de termos de uma série divergente não muda sua divergência.
  2. Se \sum a_n converge e \sum b_n diverge, então \sum(a_n + b_n) diverge.

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