O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.
88. Se
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas sobre séries numéricas e usa conceitos de convergência e divergência. Primeiro, quer saber o que ocorre se acrescentarmos ou suprimirmos um número finito de termos de uma série que já é divergente. Em seguida, pergunta: se
converge e
diverge, qual o comportamento de
? Para responder, vamos usar a definição de convergência de séries em termos de somas parciais e a propriedade de linearidade (ou quase linearidade) das séries.
Passo 2
Suponha que
seja divergente, isto é, suas somas parciais
não tendem a um número finito quando
. Se formos adicionar um número finito de termos
, a nova soma parcial até
fica
onde
é constante (independente de
). Como
diverge,
também diverge.
Passo 3
De modo análogo, se retirarmos os primeiros
termos de
, ou seja, considerarmos
com
constante, ainda temos que
diverge sempre que
diverge. Concluímos que adicionar ou retirar um número finito de termos não altera o fato de uma série ser divergente.
Passo 4
Agora, seja
convergente e
divergente. Denotemos
A soma termo a termo tem somas parciais
onde
e
diverge. Logo
e como
não existe (ou é infinito em valor absoluto), a soma
também não converge.
Resposta
- Acrescentar ou retirar um número finito de termos de uma série divergente não muda sua divergência.
- Se
converge e diverge, então diverge.