O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se
converge e
diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo
? Justifique sua resposta.
88. Se
Passo 1
O enunciado trata de séries numéricas e pergunta duas coisas:
- O que ocorre com uma série divergente se adicionarmos ou retirarmos um número finito de termos?
- Se
converge e diverge, o que acontece com ?
O conteúdo é convergência e divergência de séries, usando a definição de soma parcial e a propriedade de que modificar finitariamente uma série não afeta seu comportamento assintótico.
Passo 2
Vamos considerar uma série divergente
ou ainda
primeiros},\ \undefined, & n+k fora de domínio (não interessa). \end{cases}]
Em ambos os casos, as somas parciais satisfazem
e de modo similar para
. Como
diverge, suas somas parciais
crescem sem limite quando
. Adicionar ou retirar o bloco inicial de tamanho fixo apenas introduz uma constante nas somas parciais, logo as somas parciais modificadas também tendem a
(ou não têm limite finito). Portanto:
Adicionar ou retirar termo(s) finitários em uma série divergente não muda o fato de ela divergir.
Passo 3
Formalmente, se
diverge, então
Se definimos
para
e algum valor arbitrário para
, então
onde
é constante. Como
diverge, então
também diverge.
Passo 4
Agora, suponha que
converge e
diverge. Analisamos a série termo a termo
. Seja
Então
Pelo enunciado,
existe finito, mas
é infinito (ou não existe finito). Logo
ou seja,
diverge.
Resposta
Adicionar ou retirar um número finito de termos em uma série divergente não altera seu caráter divergente, pois isso só muda as somas parciais por uma constante.
Se converge e
diverge, então
diverge, pois suas somas parciais são a soma de uma parte que tende a um limite finito e de uma parte que diverge.
Se