O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo \Sigma\left(a_{n}+b_{n}\right) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de séries numéricas e pergunta duas coisas:
  1. O que ocorre com uma série divergente se adicionarmos ou retirarmos um número finito de termos?
  2. Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, o que acontece com \sum (a_{n}+b_{n})?
    O conteúdo é convergência e divergência de séries, usando a definição de soma parcial e a propriedade de que modificar finitariamente uma série não afeta seu comportamento assintótico.

Passo 2

Vamos considerar uma série divergente \sum_{n=1}^\infty c_{n}\). Queremos ver o efeito de adicionar ou retirar um número finito de termos no início. Seja \(k\) um inteiro fixo positivo. Definimos duas séries modificadas: \[\sum_{n=1}^\infty d_{n} \quad\text{onde}\quad d_{n} = \begin{cases} \text{termos novos ou zero}, & 1 \le n \le k,\\\ c_{n-k}, & n>k, \end{cases}
ou ainda
\sum_{n=1}^\infty e_{n} \quad\text{onde}\quad e_{n} = \begin{cases} c_{n+k}, & \text{tira-se os \(k primeiros},\ \undefined, & n+k fora de domínio (não interessa). \end{cases}]
Em ambos os casos, as somas parciais satisfazem
S_{N}(d) \;=\;\sum_{n=1}^N d_{n} \;=\;\sum_{n=1}^k d_{n} \;+\;\sum_{n=k+1}^N c_{n-k} \;=\; \text{constante} \;+\; \sum_{m=1}^{N-k}c_{m},
e de modo similar para e_n. Como \sum c_{n} diverge, suas somas parciais \sum_{m=1}^{M}c_{m} crescem sem limite quando M\to\infty. Adicionar ou retirar o bloco inicial de tamanho fixo apenas introduz uma constante nas somas parciais, logo as somas parciais modificadas também tendem a +\infty (ou não têm limite finito). Portanto:
Adicionar ou retirar termo(s) finitários em uma série divergente não muda o fato de ela divergir.

Passo 3

Formalmente, se \sum_{n=1}^\infty c_{n} diverge, então
\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N c_{n} = \pm\infty \quad\text{ou não existe finito}.ã
Se definimos \tilde c_{n} = c_{n} para n>k e algum valor arbitrário para 1\le n\le k, então
\sum_{n=1}^N \tilde c_{n} = \sum_{n=1}^k \tilde c_{n} + \sum_{n=k+1}^N c_{n} = C + \sum_{m=1}^{N-k} c_{m},
onde C=\sum_{n=1}^k\tilde c_{n} é constante. Como \sum_{m=1}^{N-k}c_{m} diverge, então \sum_{n=1}^N \tilde c_{n} também diverge.

Passo 4

Agora, suponha que \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge. Analisamos a série termo a termo
\sum (a_{n}+b_{n}). Seja
A_{N} = \sum_{n=1}^N a_{n}, \quad B_{N} = \sum_{n=1}^N b_{n}, \quad S_{N} = \sum_{n=1}^N (a_{n}+b_{n}).
Então
S_{N} = A_{N} + B_{N}.
Pelo enunciado, \lim_{N\to\infty}A_{N} = L existe finito, mas \lim_{N\to\infty}B_{N} é infinito (ou não existe finito). Logo
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty} (A_{N} + B_{N}) = L + \lim_{N\to\infty}B_{N} = \pm\infty \quad\text{(ou não existe finito)},ã
ou seja, \sum (a_{n}+b_{n}) diverge.

Resposta

Adicionar ou retirar um número finito de termos em uma série divergente não altera seu caráter divergente, pois isso só muda as somas parciais por uma constante.
Se \sum a_{n} converge e \sum b_{n} diverge, então \sum (a_{n}+b_{n}) diverge, pois suas somas parciais são a soma de uma parte que tende a um limite finito e de uma parte que diverge.

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