3.6 O que aconteceria com a média, moda, mediana, a variância e o desvio-padrão caso cada elemento fosse multiplicado por 3?

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com as medidas de posição (média, mediana e moda) e as medidas de dispersão (variância e desvio-padrão) de um conjunto de dados quando cada elemento xi é transformado em yi = 3xi. O conteúdo aqui é a propriedade de escala em estatística descritiva, que diz como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão reagem a multiplicações ou somas constantes nos dados.

Passo 2

Para a média, usamos a definição
bar X = 1nsumi=1^n xi
Se cada xi vira yi = 3xi, então
bar Y = 1nsumi=1^n yi = 1nsumi=1^n (3xi) = 3;1nsumi=1^n xi = 3,bar X
Logo, a média é multiplicada por 3.

Passo 3

A mediana é o valor central que divide o conjunto ordenado em duas partes iguais. Se cada observação for escalada por 3, a posição relativa não muda, mas todo valor é multiplicado por 3. Portanto,
mediana de Y = 3;l(mediana de Xr)

Passo 4

A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Se todos os elementos são multiplicados por 3, o elemento mais frequente também é escalado por 3. Assim,
moda de Y = 3;l(moda de Xr)

Passo 5

A variância é definida por
sX^2 = 1n-1sumi=1^n(xi - bar X)^2
Se yi = 3xi, então yi - bar Y = 3(xi - bar X). Substituindo:
sY^2 = 1n-1sumi=1^nl(3(xi - bar X)r)^2 = 9;1n-1sumi=1^n(xi - bar X)^2 = 9,sX^2
Logo, a variância é multiplicada por 9.

Passo 6

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
sY = raizsY^2 = raiz9,sX^2 = 3,raizsX^2 = 3,sX
Portanto, o desvio-padrão também é multiplicado por 3.

Resposta

Média: multiplicada por 3.
Mediana: multiplicada por 3.
Moda: multiplicada por 3.
Variância: multiplicada por 9.
Desvio-padrão: multiplicado por 3.

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