De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P V=4.000, P é medido em pascals e V é medido em litros.
(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L .
(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.
Passo 1
O enunciado dá a relação fixa entre pressão e volume:
P V = 4000,
onde P está em pascals e V está em litros. As perguntas são:
(a) Encontrar a taxa de variação média de P quando V aumenta de 3 L para 4 L.
(b) Expressar V como função de P e mostrar que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.
As informações relevantes que temos: a constante do produto é \,4000, e os volumes de interesse para (a) são V=3 L e V=4 L.
Passo 2
Primeiro vamos escrever P explicitamente como função de V. Da equação dada:
P V = 4000.
Isolando P (dividindo ambos os lados por V), obtemos:
P(V)=\frac{4000}{V}.
Explicação didática: aqui usamos álgebra básica — para “desfazer” a multiplicação por V dividimos por V. A variável P depende de V por essa fórmula; para cada valor de V>0 existe P correspondente.
Passo 3
Agora calculamos os valores de P nos volumes dados para poder achar a taxa média. Calcule P em V=3 L:
P(3)=\frac{4000}{3}.
Calcule P em V=4 L:
P(4)=\frac{4000}{4}=1000.
Explicação numérica passo a passo: \dfrac{4000}{3}=1333\frac{1}{3} pascals (ou 1333{,}33\ldots Pa) e \dfrac{4000}{4}=1000 Pa.
Passo 4
Definição e cálculo da taxa de variação média: a taxa média de variação de P quando V passa de V_1 para V_2 é
\frac{\Delta P}{\Delta V}=-\frac{1000}{3}\quad\text{(pascals por litro)}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a pressão diminui quando o volume aumenta — faz sentido físico pela Lei de Boyle.
Passo 5
Para (b) primeiro expressamos V como função de P. Da equação inicial:
P V = 4000 \quad\Longrightarrow\quad V(P)=\frac{4000}{P}.
Explicação: isolamos V dividindo por P. O domínio aqui é P>0 (pressão positiva).
Passo 6
Agora vamos achar a taxa de variação instantânea de V em relação a P, ou seja a derivada \dfrac{dV}{dP}. Escrevemos V(P) em potência:
V(P)=4000\,P^{-1}.
Usamos a regra do poder (power rule) para derivar: se f(P)=P^{n} então f'(P)=nP^{n-1}. Também usamos a regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot g(P) é c\cdot g'(P). Aplicando:
Explicação didática: a derivada -\dfrac{4000}{P^{2}} dá a taxa instantânea — o limite das taxas médias quando as variações ficam muito pequenas. Escrevendo de forma evidente:
\frac{dV}{dP}=-4000\cdot\frac{1}{P^{2}},
logo \dfrac{dV}{dP} é proporcional a P^{-2}, ou seja inversamente proporcional ao quadrado de P. A constante de proporcionalidade é -4000.
Passo 7
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: se P=1000 Pa, então
Interpretação: perto de 1000 Pa, um aumento de 1 Pa reduziria o volume em aproximadamente 0{,}004 L.
Resposta
(a) -\dfrac{1000}{3}\\ \text{Pa por litro} (aprox. -333{,}33\\ \text{Pa/L}).
(b) V(P)=\dfrac{4000}{P} e \dfrac{dV}{dP}=-\dfrac{4000}{P^{2}} (logo é inversamente proporcional a P^{2}).