\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-3 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-3x+2}\right).
Informações dadas/observações iniciais:
  • A expressão envolve duas frações com denominadores \,x-1 e \,x^{2}-3x+2.
  • Note que \,x-1=0 em x=1, e \,x^{2}-3x+2=0 em x=1 e em x=2. Ou seja, a expressão não está definida em x=1 (e também em x=2), mas queremos o comportamento quando x se aproxima de 1.
  • O que se pede é o limite quando x tende a 1, ou seja, o valor para o qual a expressão se aproxima quando x fica cada vez mais perto de 1, sem necessariamente existir valor da função em x=1.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio do segundo denominador para ver se há simplificação possível. Para fatorar \,x^{2}-3x+2 procuramos suas raízes: os números cujo produto é 2 e soma é -3. Esses números são -1 e -2? Não — vamos testar diretamente as raízes inteiras 1 e 2:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Verifique: multiplicando (x-1)(x-2) obtemos x^{2}-2x-x+2=x^{2}-3x+2. Portanto a fatoração está correta.

Passo 3

Reescrevemos a expressão original usando a fatoração encontrada:
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-3x+2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}.
Agora vamos somar as frações encontrando o denominador comum (x-1)(x-2). Para a primeira fração multiplicamos numerador e denominador por (x-2):
\frac{1}{x-1}=\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}.
Somando as duas frações com mesmo denominador:
\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-2+1}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}.

Passo 4

Observe que, para x\neq 1, podemos simplificar o fator comum (x-1) no numerador e denominador:
\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}\qquad\text{para }x\neq 1.
Importante didática: não podemos simplesmente cancelar e afirmar que a igualdade vale em x=1, porque tanto numerador quanto denominador são zero em x=1. Porém, para avaliar o limite em x\to 1 basta saber o comportamento da função em um entorno de 1 excluindo x=1. Como as duas expressões são iguais em todo ponto suficientemente perto de 1 (exceto em 1 mesmo), elas têm o mesmo limite quando x\to 1.

Passo 5

Como para x próximo de 1 (com x\neq 1) a expressão é igual a \dfrac{1}{x-2}, o limite quando x\to 1 é o mesmo que o limite de \dfrac{1}{x-2} quando x\to 1. Esse limite pode ser obtido por substituição direta, já que o denominador em x=1 não é zero:
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-2}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1.
Breve intuição: a aparente divergência de \dfrac{1}{x-1} é cancelada pela segunda fração, resultando numa função simples cuja avaliação em x=1 (por limite) dá -1.

Resposta

-1

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