Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas/observações iniciais:
- A expressão envolve duas frações com denominadores
e . - Note que
em , e em e em . Ou seja, a expressão não está definida em (e também em ), mas queremos o comportamento quando se aproxima de . - O que se pede é o limite quando
tende a , ou seja, o valor para o qual a expressão se aproxima quando fica cada vez mais perto de , sem necessariamente existir valor da função em .
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio do segundo denominador para ver se há simplificação possível. Para fatorar
procuramos suas raízes: os números cujo produto é
e soma é
. Esses números são
e
? Não — vamos testar diretamente as raízes inteiras
e
:
Verifique: multiplicando
obtemos
. Portanto a fatoração está correta.
Passo 3
Reescrevemos a expressão original usando a fatoração encontrada:
Agora vamos somar as frações encontrando o denominador comum
. Para a primeira fração multiplicamos numerador e denominador por
:
Somando as duas frações com mesmo denominador:
Passo 4
Observe que, para
, podemos simplificar o fator comum
no numerador e denominador:
Importante didática: não podemos simplesmente cancelar e afirmar que a igualdade vale em
, porque tanto numerador quanto denominador são zero em
. Porém, para avaliar o limite em
basta saber o comportamento da função em um entorno de
excluindo
. Como as duas expressões são iguais em todo ponto suficientemente perto de
(exceto em
mesmo), elas têm o mesmo limite quando
.
Passo 5
Como para
próximo de
(com
) a expressão é igual a
, o limite quando
é o mesmo que o limite de
quando
. Esse limite pode ser obtido por substituição direta, já que o denominador em
não é zero:
Breve intuição: a aparente divergência de
é cancelada pela segunda fração, resultando numa função simples cuja avaliação em
(por limite) dá
.