Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - A variável
tende para . - A função
está definida para , portanto aproximar por é válido. - Quando
temos . - Quando
temos . Como a potência é par ( ), para todo (ou seja, o denominador tende para por valores positivos).
Passo 2
Vamos lembrar um conceito útil sobre limites infinitos (explicando devagarzinho): se uma função é escrita como
e, ao aproximar
de um ponto, temos
com
(ou seja, um número finito não nulo) e
, então a razão tende para infinito em módulo. O sinal de infinito (positivo ou negativo) depende do sinal de
perto do ponto e do sinal de
. Em palavras: número finito não nulo dividido por algo que vai a zero fica arbitrariamente grande em módulo.
Passo 3
Aplique esse conceito ao nosso caso: aqui
e
.
- Já vimos que
(um número finito e positivo). - E
, com para , porque a quarta potência é sempre positiva exceto no zero.
Portanto a razão tem numerador aproximando-se de
e denominador aproximando-se de
por valores positivos, logo a razão deve crescer sem limite para
.
Passo 4
Se quiser uma justificativa um pouco mais “técnica” (mas simples): faça a mudança
. Então
e
quando
. A expressão fica
Para
temos
, então
fica presa num intervalo positivo:
Assim, para
,
Como
quando
, por comparação a nossa expressão também tende a
. Isso confirma rigorosamente o resultado anterior.
Passo 5
Intuitivamente: o numerador aproxima-se de
(não zera) enquanto o denominador vira um número muito pequeno e positivo (porque é uma quarta potência), então o quociente explode para
.