\lim _{r \rightarrow 9} \frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{r\to 9}\frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}.
  • A variável r tende para 9.
  • A função \sqrt{r} está definida para r\ge 0, portanto aproximar r por 9 é válido.
  • Quando r\to 9 temos \sqrt{r}\to \sqrt{9}=3.
  • Quando r\to 9 temos (r-9)^{4}\to 0. Como a potência é par ( 4), (r-9)^{4}>0 para todo r\neq 9 (ou seja, o denominador tende para 0 por valores positivos).

Passo 2

Vamos lembrar um conceito útil sobre limites infinitos (explicando devagarzinho): se uma função é escrita como
\frac{N(r)}{D(r)}
e, ao aproximar r de um ponto, temos N(r)\to L com L\neq 0 (ou seja, um número finito não nulo) e D(r)\to 0, então a razão tende para infinito em módulo. O sinal de infinito (positivo ou negativo) depende do sinal de D(r) perto do ponto e do sinal de L. Em palavras: número finito não nulo dividido por algo que vai a zero fica arbitrariamente grande em módulo.

Passo 3

Aplique esse conceito ao nosso caso: aqui N(r)=\sqrt{r} e D(r)=(r-9)^{4}.
  • Já vimos que N(r)\to 3 (um número finito e positivo).
  • E D(r)\to 0, com D(r)>0 para r\neq 9, porque a quarta potência é sempre positiva exceto no zero.
Portanto a razão tem numerador aproximando-se de 3>0 e denominador aproximando-se de 0 por valores positivos, logo a razão deve crescer sem limite para +\infty.

Passo 4

Se quiser uma justificativa um pouco mais “técnica” (mas simples): faça a mudança h=r-9. Então r=9+h e h\to 0 quando r\to 9. A expressão fica
\frac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}.
Para |h|<1 temos 8\le 9+h\le 10, então \sqrt{9+h} fica presa num intervalo positivo:
\sqrt{8}\le \sqrt{9+h}\le \sqrt{10}.
Assim, para 0<|h|<1,
\frac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}\ge \frac{\sqrt{8}}{h^{4}}.
Como \dfrac{\sqrt{8}}{h^{4}}\to +\infty quando h\to 0, por comparação a nossa expressão também tende a +\infty. Isso confirma rigorosamente o resultado anterior.

Passo 5

Intuitivamente: o numerador aproxima-se de 3 (não zera) enquanto o denominador vira um número muito pequeno e positivo (porque é uma quarta potência), então o quociente explode para +\infty.

Resposta

+\infty

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