De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r cm de distância do eixo central de uma artéria de raio R é dada por S(r)=c(R^2-r^2), onde c é uma constante positiva. A que distância do eixo central da artéria a velocidade do sangue é máxima?

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidades numa artéria segundo a lei de Poiseuille,
S(r)=cl(R^2-r^2r),
onde r varia de 0 a R e c>0. Queremos achar o valor de r que maximiza S(r).

Passo 2

Para encontrar extremos de uma função diferenciável, calculamos a derivada em relação a r e igualamos a zero. Aqui temos
S'(r)=ddrl[c(R^2-r^2)r]

Passo 3

Derivando:
S'(r)=ccdot(0-2r)=-2c,r
Igualando a zero para achar o ponto crítico:
-2c,r=0Longrightarrow r=0

Passo 4

Para confirmar que em r=0 temos um máximo, basta ver o sinal da segunda derivada:
S''(r)=ddr(-2c,r)=-2c<0
Como S''(0)<0, o ponto r=0 é de máximo.

Resposta

A velocidade do sangue é máxima na distância
r=0
do eixo central da artéria.

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