De acordo com o modelo de Bohr, um elétron no estado fundamental de um átomo de hidrogênio orbita o núcleo em um raio específico de
descrição da mecânica quântica do átomo de hidrogênio, a distância mais provável do elétron até o núcleo é 0,53 Å.
Na descrição de um elétron feita pela mecânica quântica, qual é o significado físico do quadrado da função de onda,
?
Na descrição de um elétron feita pela mecânica quântica, qual é o significado físico do quadrado da função de onda,
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta:
- Informação: no modelo de Bohr o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio tem raio
. Na mecânica quântica, a distância mais provável do elétron ao núcleo no estado fundamental também é . - Pergunta: na descrição quântica do elétron, qual é o significado físico do quadrado da função de onda,
?
Passo 2
A ideia central (interpretação de Born) — explicada devagar e com jeitinho: a função de onda
é uma descrição matemática do estado do elétron. Mas ela em si não é uma probabilidade; o que tem sentido físico direto é o produto
, que costuma escreverse como
ou, informalmente,
.
- Definição clara:
. - Significado físico:
é a densidade de probabilidade por unidade de volume de encontrar o elétron na posição no instante .
Explicando as palavras:
- “Densidade de probabilidade por unidade de volume” quer dizer que, para um pequeno volume de espaço
centrado em , a probabilidade de medir o elétron dentro desse volume é
Passo 3
Normalização — por que
tem que dar probabilidade:
- A probabilidade total de encontrar o elétron em algum lugar do espaço deve ser
. Isso impõe a condição de normalização
- Se essa integral não for
, podemos dividir por uma constante para normalizar.
Exemplo simples (1D) para fixar a intuição: para uma função de onda
em uma dimensão, a probabilidade de achar a partícula entre
e
é
. Mesma ideia em 3D, só que com
.
Passo 4
Sobre funções de onda complexas: muitas
são complexas, por isso escrevemos
. Isso garante que a densidade de probabilidade seja um número real e não negativo — exatamente o que precisamos para uma probabilidade.
Passo 5
Aplicando ao hidrogênio (ligação com o dado do enunciado):
- O estado fundamental do hidrogênio tem função de onda radial (dependendo apenas de
):
onde
é o raio de Bohr e vale
.
- A densidade de probabilidade por unidade de volume é
- A probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica entre
e é dada pela densidade radial
- Para achar o raio mais provável
resolvem-se . Calculando,
As raízes relevantes são
e
; a máxima não trivial é
. Portanto o raio mais provável é
, que é o número citado no enunciado. Isso mostra como
se relaciona diretamente com a afirmação sobre a “distância mais provável”.
Passo 6
Consequências físicas e intuição extra (rápido e útil para prova):
- Medir a posição do elétron dá um resultado aleatório com distribuição
. Após a medida, a função de onda “colapsa” para perto do local medido (isso é a parte interpretativa — memorize a relação medida ⇄ distribuição). - A densidade de carga elétrica do elétron é simplesmente
, onde é a carga do elétron. - Para calcular probabilidades concretas, sempre use
na região desejada.
Força de incentivo: lembra — na prova, quando virem
penseem automaticamente em “onde está mais provável o elétron?” e calculem
e integram na região desejada. Dá certo e é direto.