De acordo com o modelo de Bohr, um elétron no estado fundamental de um átomo de hidrogênio orbita o núcleo em um raio específico de 0,53 \AA \mathrm{~A} . \mathrm{Na} descrição da mecânica quântica do átomo de hidrogênio, a distância mais provável do elétron até o núcleo é 0,53 Å.
Na descrição de um elétron feita pela mecânica quântica, qual é o significado físico do quadrado da função de onda, \psi^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta:
  • Informação: no modelo de Bohr o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio tem raio 0,53\\ \text{\AA}. Na mecânica quântica, a distância mais provável do elétron ao núcleo no estado fundamental também é 0,53\\ \text{\AA}.
  • Pergunta: na descrição quântica do elétron, qual é o significado físico do quadrado da função de onda, \psi^{2}?

Passo 2

A ideia central (interpretação de Born) — explicada devagar e com jeitinho: a função de onda \psi(\mathbf r,t) é uma descrição matemática do estado do elétron. Mas ela em si não é uma probabilidade; o que tem sentido físico direto é o produto \psi^{*}\psi, que costuma escreverse como |\psi|^{2} ou, informalmente, \psi^{2}.
  • Definição clara: |\psi(\mathbf r,t)|^{2} = \psi^{*}(\mathbf r,t)\,\psi(\mathbf r,t).
  • Significado físico: |\psi(\mathbf r,t)|^{2} é a densidade de probabilidade por unidade de volume de encontrar o elétron na posição \mathbf r no instante t.
Explicando as palavras:
  • “Densidade de probabilidade por unidade de volume” quer dizer que, para um pequeno volume de espaço dV centrado em \mathbf r, a probabilidade de medir o elétron dentro desse volume é
\text{Prob}(\text{eletrão em }dV)=|\psi(\mathbf r,t)|^{2}\,dV.ã

Passo 3

Normalização — por que |\psi|^{2} tem que dar probabilidade:
  • A probabilidade total de encontrar o elétron em algum lugar do espaço deve ser 1. Isso impõe a condição de normalização
\int_{\text{todo espaço}} |\psi(\mathbf r,t)|^{2}\,dV = 1.ç
  • Se essa integral não for 1, podemos dividir \psi por uma constante para normalizar.
Exemplo simples (1D) para fixar a intuição: para uma função de onda \psi(x) em uma dimensão, a probabilidade de achar a partícula entre x e x+dx é |\psi(x)|^{2}dx. Mesma ideia em 3D, só que com dV.

Passo 4

Sobre funções de onda complexas: muitas \psi são complexas, por isso escrevemos |\psi|^{2}=\psi^{*}\psi. Isso garante que a densidade de probabilidade seja um número real e não negativo — exatamente o que precisamos para uma probabilidade.

Passo 5

Aplicando ao hidrogênio (ligação com o dado do enunciado):
  • O estado fundamental do hidrogênio tem função de onda radial (dependendo apenas de r):
\psi_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}\,e^{-r/a_{0}},
onde a_{0} é o raio de Bohr e vale a_{0}=0,53\\ \text{\AA}.
  • A densidade de probabilidade por unidade de volume é
|\psi_{100}(r)|^{2}=\frac{1}{\pi a_{0}^{3}}\,e^{-2r/a_{0}}.
  • A probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica entre r e r+dr é dada pela densidade radial
P(r)\,dr = 4\pi r^{2} |\psi_{100}(r)|^{2}\,dr = \frac{4}{a_{0}^{3}}\, r^{2} e^{-2r/a_{0}}\,dr.
  • Para achar o raio mais provável r_{\text{mp}} resolvem-se dP/dr=0. Calculando,
\frac{dP}{dr}=\frac{4}{a_{0}^{3}} e^{-2r/a_{0}}\cdot 2r\left(1-\frac{r}{a_{0}}\right).
As raízes relevantes são r=0 e r=a_{0}; a máxima não trivial é r=a_{0}. Portanto o raio mais provável é r=a_{0}=0,53\\ \text{\AA}, que é o número citado no enunciado. Isso mostra como |\psi|^{2} se relaciona diretamente com a afirmação sobre a “distância mais provável”.

Passo 6

Consequências físicas e intuição extra (rápido e útil para prova):
  • Medir a posição do elétron dá um resultado aleatório com distribuição |\psi|^{2}. Após a medida, a função de onda “colapsa” para perto do local medido (isso é a parte interpretativa — memorize a relação medida ⇄ distribuição).
  • A densidade de carga elétrica do elétron é simplesmente -e\,|\psi|^{2}, onde -e é a carga do elétron.
  • Para calcular probabilidades concretas, sempre use \int_{V} |\psi|^{2}\,dV na região V desejada.
Força de incentivo: lembra — na prova, quando virem \psi penseem automaticamente em “onde está mais provável o elétron?” e calculem |\psi|^{2} e integram na região desejada. Dá certo e é direto.

Resposta

|\psi|^{2}=\psi^{*}\psi é a densidade de probabilidade por unidade de volume de encontrar o elétron numa posição; a probabilidade de achá-lo num volume dV em \mathbf r é |\psi(\mathbf r)|^{2}dV.

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