O microscópio eletrônico tem sido amplamente utilizado para obter imagens altamente ampliadas de material biológico e outros tipos. Quando um elétron é acelerado por meio de um campo potencial determinado, ele alcança uma velocidade de
. Qual é o comprimento de onda característico desse elétron? O comprimento de onda é comparável ao tamanho dos átomos?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a velocidade do elétron
. - Pede 1: calcular o comprimento de onda característico desse elétron.
- Pede 2: comparar esse comprimento de onda com o tamanho dos átomos (dizer se é comparável).
Constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
- massa do elétron:
. - constante de Planck:
. - velocidade da luz:
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (aula rápida, calma que é tranquila):
- Um elétron em movimento tem comportamento de partícula e de onda. O comprimento de onda associado a uma partícula livre é dado pela relação de de Broglie:
onde
é o comprimento de onda,
é a constante de Planck e
é o momento linear (momentum) da partícula.
- Para velocidades não relativísticas, o momento é simplesmente
onde
é a massa do elétron e
a velocidade. Vou verificar se podemos usar essa fórmula não relativística (ou seja, se
é muito menor que
).
Passo 3
Verificar se o cálculo não-relativístico é aceitável (checar
e o fator
):
- Calcular a razão
:
- Como
, os efeitos relativísticos são muito pequenos. Podemos usar com boa precisão. (Se fosse necessário usar relatividade, o momento seria com ; aqui , correção ~0,05% — desprezível para nossa conta sem calculadora.)
Passo 4
Calcular o momento
do elétron (conta passo a passo):
- Usando
,
- Multiplicando os fatores numéricos:
- Ajustando potência de 10:
Passo 5
Calcular o comprimento de onda
com
:
- Aplicando os números:
- Fazendo a divisão dos coeficientes e ajustando potências de 10:
e a potência é
. Portanto
- Para unidades mais familiares:
Passo 6
Comparação com o tamanho dos átomos (explicação didática e conclusão):
- Um comprimento típico associado ao tamanho de um átomo (raio atômico / distância interatômica) é da ordem de
(ou ). - Nosso resultado
é do mesmo ordem de grandeza e ligeiramente menor que . - Conclusão física: sim — o comprimento de onda do elétron é comparável ao tamanho dos átomos. Por isso elétrons com essa velocidade conseguem “ver” estruturas na escala atômica (é esse princípio que permite ao microscópio eletrônico obter resolução muito superior à de um microscópio óptico).
Resposta
Sim. O comprimento de onda é da mesma ordem de grandeza que o tamanho atômico (≈