O microscópio eletrônico tem sido amplamente utilizado para obter imagens altamente ampliadas de material biológico e outros tipos. Quando um elétron é acelerado por meio de um campo potencial determinado, ele alcança uma velocidade de 9,47 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o comprimento de onda característico desse elétron? O comprimento de onda é comparável ao tamanho dos átomos?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a velocidade do elétron v = 9,47\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pede 1: calcular o comprimento de onda característico desse elétron.
  • Pede 2: comparar esse comprimento de onda com o tamanho dos átomos (dizer se é comparável).
Constantes que vamos usar (valores numéricos padrão):
  • massa do elétron: m_e = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • velocidade da luz: c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (aula rápida, calma que é tranquila):
  • Um elétron em movimento tem comportamento de partícula e de onda. O comprimento de onda associado a uma partícula livre é dado pela relação de de Broglie:
\lambda = \frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear (momentum) da partícula.
  • Para velocidades não relativísticas, o momento é simplesmente
p = m_e v,
onde m_e é a massa do elétron e v a velocidade. Vou verificar se podemos usar essa fórmula não relativística (ou seja, se v é muito menor que c).

Passo 3

Verificar se o cálculo não-relativístico é aceitável (checar v/c e o fator \gamma):
  • Calcular a razão v/c:
\frac{v}{c}=\frac{9,47\times10^{6}}{2,99792458\times10^{8}}\approx0,0316.
  • Como \frac{v}{c}\approx0,0316\ll1, os efeitos relativísticos são muito pequenos. Podemos usar p=m_ev com boa precisão. (Se fosse necessário usar relatividade, o momento seria p=\gamma m_ev com \gamma=(1-(v/c)^2)^{-1/2}; aqui \gamma\approx1{,}0005, correção ~0,05% — desprezível para nossa conta sem calculadora.)

Passo 4

Calcular o momento p do elétron (conta passo a passo):
  • Usando p=m_ev,
p = (9,10938356\times10^{-31})(9,47\times10^{6})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Multiplicando os fatores numéricos:
9,10938356\times9,47 \approx 86{,}265\quad\Rightarrow\quad p\approx 86{,}265\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Ajustando potência de 10:
p\approx 8,6265\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda com \lambda = h/p:
  • Aplicando os números:
\lambda = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{8,6265\times10^{-24}}\\ \mathrm{m}.
  • Fazendo a divisão dos coeficientes e ajustando potências de 10:
\frac{6,62607015}{8,6265}\approx 0{,}7684,
e a potência é 10^{-34-(-24)}=10^{-10}. Portanto
\lambda \approx 0{,}7684\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 7{,}684\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Para unidades mais familiares:
\lambda \approx 7{,}68\times10^{-11}\\ \mathrm{m} = 0{,}0768\\ \mathrm{nm} = 0{,}768\\ \text{\AA}.

Passo 6

Comparação com o tamanho dos átomos (explicação didática e conclusão):
  • Um comprimento típico associado ao tamanho de um átomo (raio atômico / distância interatômica) é da ordem de 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (ou 1\\ \text{\AA}).
  • Nosso resultado \lambda\approx7,68\times10^{-11}\\ \mathrm{m} é do mesmo ordem de grandeza e ligeiramente menor que 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão física: sim — o comprimento de onda do elétron é comparável ao tamanho dos átomos. Por isso elétrons com essa velocidade conseguem “ver” estruturas na escala atômica (é esse princípio que permite ao microscópio eletrônico obter resolução muito superior à de um microscópio óptico).

Resposta

\lambda \approx 7,68\times10^{-11}\\ \mathrm{m} \;=\; 0,0768\\ \mathrm{nm} \;=\; 0,768\\ \text{\AA}
Sim. O comprimento de onda é da mesma ordem de grandeza que o tamanho atômico (≈ 1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}), portanto é comparável.

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