Calcule a incerteza na posição de:
(a) um elétron se movendo a uma velocidade de
,
(b) um nêutron se movendo a essa mesma velocidade.
(As massas do elétron e do nêutron são dadas na tabela de constantes fundamentais, localizada na contracapa final do livro).
(c) Com base em suas respostas aos itens anteriores, o que podemos saber com maior precisão, a posição do elétron ou do nêutron?
(a) um elétron se movendo a uma velocidade de
(b) um nêutron se movendo a essa mesma velocidade.
(As massas do elétron e do nêutron são dadas na tabela de constantes fundamentais, localizada na contracapa final do livro).
(c) Com base em suas respostas aos itens anteriores, o que podemos saber com maior precisão, a posição do elétron ou do nêutron?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a incerteza na posição de três formas:
(a) para um elétron com velocidade ;
(b) para um nêutron com a mesma velocidade;
(c) comparar qual das posições (elétron ou nêutron) pode ser conhecida com maior precisão.
(a) para um elétron com velocidade
(b) para um nêutron com a mesma velocidade;
(c) comparar qual das posições (elétron ou nêutron) pode ser conhecida com maior precisão.
Informações relevantes dadas ou necessárias (peguei as massas na tabela de constantes fundamentais, contracapa):
- velocidade central
; - incerteza na velocidade
; - massa do elétron
(peguei da tabela); - massa do nêutron
(peguei da tabela).
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
- A versão usual do princípio da incerteza de Heisenberg que relaciona posição e momento é
onde:
-
é a incerteza na posição (o que queremos achar); -
é a incerteza no momento linear; -
é a constante de Planck reduzida, . - Valor numérico usado:
.
Relação entre momento e velocidade:
- O momento de uma partícula clássica não relativística é
. - Se a massa é conhecida com muito maior precisão do que a velocidade, podemos aproximar a incerteza do momento por
Explicação simples: a variação no
vem dominada pela variação em
se
é praticamente constante.
Logo, isolando
na desigualdade:
Essa fórmula é a que vamos aplicar para elétron e nêutron.
Passo 3
Cálculo da incerteza do momento para o elétron:
Passo 4
Cálculo da incerteza mínima na posição do elétron usando
:
Primeiro o denominador
Primeiro o denominador
Agora a razão
Convertendo para unidades mais intuitivas:
Passo 5
Cálculo da incerteza do momento para o nêutron:
Passo 6
Cálculo da incerteza mínima na posição do nêutron:
Primeiro o denominador
Primeiro o denominador
Agora a razão
Convertendo:
Passo 7
Comparação e interpretação final (didática e intuitiva):
- Encontramos
e . - Como
é muito menor que , a posição do nêutron pode ser conhecida com muito mais precisão do que a do elétron, dado o mesmo erro na velocidade. - Intuição: para uma mesma incerteza de velocidade
, a incerteza de momento é maior quanto maior a massa; como é aproximadamente proporcional a , massas maiores produzem incertezas de posição menores. - Observação sobre a desigualdade: a fórmula dá um limite inferior (menor valor possível de
compatível com a incerteza no momento). Na prática pode ser maior, mas não menor que esse valor mínimo.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) (aprox.
)
(c) A posição do nêutron pode ser conhecida com muito maior precisão (ou seja, é muito menor que
).
(b)
(c) A posição do nêutron pode ser conhecida com muito maior precisão (ou seja,