Calcule a incerteza na posição de:
(a) um elétron se movendo a uma velocidade de (3,00 \pm 0,01) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s},
(b) um nêutron se movendo a essa mesma velocidade.
(As massas do elétron e do nêutron são dadas na tabela de constantes fundamentais, localizada na contracapa final do livro).
(c) Com base em suas respostas aos itens anteriores, o que podemos saber com maior precisão, a posição do elétron ou do nêutron?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a incerteza na posição de três formas:
(a) para um elétron com velocidade v=(3,00\pm0,01)\times10^{5}\\ \mathrm{m/s};
(b) para um nêutron com a mesma velocidade;
(c) comparar qual das posições (elétron ou nêutron) pode ser conhecida com maior precisão.
Informações relevantes dadas ou necessárias (peguei as massas na tabela de constantes fundamentais, contracapa):
  • velocidade central v = 3,00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s};
  • incerteza na velocidade \Delta v = 0,01\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} = 1,00\times10^{3}\\ \mathrm{m/s};
  • massa do elétron m_{e} = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (peguei da tabela);
  • massa do nêutron m_{n} = 1,674927471\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (peguei da tabela).

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática):
  • A versão usual do princípio da incerteza de Heisenberg que relaciona posição e momento é
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta x é a incerteza na posição (o que queremos achar);
  • \Delta p é a incerteza no momento linear;
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \equiv \dfrac{h}{2\pi}.
  • Valor numérico usado: \hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Relação entre momento e velocidade:
  • O momento de uma partícula clássica não relativística é p = m v.
  • Se a massa é conhecida com muito maior precisão do que a velocidade, podemos aproximar a incerteza do momento por
\Delta p \approx m\,\Delta v.
Explicação simples: a variação no p vem dominada pela variação em v se m é praticamente constante.
Logo, isolando \Delta x na desigualdade:
\Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{2\,\Delta p} \approx \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta v}.
Essa fórmula é a que vamos aplicar para elétron e nêutron.

Passo 3

Cálculo da incerteza do momento para o elétron:
\Delta p_{e} = m_{e}\,\Delta v = \bigl(9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\bigr)\bigl(1,00\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\bigr) = 9,10938356\times10^{-28}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Cálculo da incerteza mínima na posição do elétron usando \Delta x \gtrsim \dfrac{\hbar}{2\Delta p}:
Primeiro o denominador
2\,\Delta p_{e} = 2\bigl(9,10938356\times10^{-28}\bigr)=1,821876712\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a razão
\Delta x_{e} \gtrsim \frac{1,054571817\times10^{-34}}{1,821876712\times10^{-27}} =5,791444\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para unidades mais intuitivas:
\Delta x_{e} \gtrsim 5,79\times10^{-8}\\ \mathrm{m} \approx 57,9\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo da incerteza do momento para o nêutron:
\Delta p_{n} = m_{n}\,\Delta v = \bigl(1,674927471\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\bigr)\bigl(1,00\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\bigr) =1,674927471\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Cálculo da incerteza mínima na posição do nêutron:
Primeiro o denominador
2\,\Delta p_{n} = 2\bigl(1,674927471\times10^{-24}\bigr)=3,349854942\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a razão
\Delta x_{n} \gtrsim \frac{1,054571817\times10^{-34}}{3,349854942\times10^{-24}} =3,150755\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Convertendo:
\Delta x_{n} \gtrsim 3,15\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\approx 0,0315\\ \mathrm{nm}=31,5\\ \mathrm{pm}.

Passo 7

Comparação e interpretação final (didática e intuitiva):
  • Encontramos \Delta x_{e}\gtrsim5,79\times10^{-8}\\ \mathrm{m} e \Delta x_{n}\gtrsim3,15\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Como \Delta x_{n} é muito menor que \Delta x_{e}, a posição do nêutron pode ser conhecida com muito mais precisão do que a do elétron, dado o mesmo erro na velocidade.
  • Intuição: para uma mesma incerteza de velocidade \Delta v, a incerteza de momento \Delta p=m\,\Delta v é maior quanto maior a massa; como \Delta x é aproximadamente proporcional a 1/\Delta p, massas maiores produzem incertezas de posição menores.
  • Observação sobre a desigualdade: a fórmula dá um limite inferior (menor valor possível de \Delta x compatível com a incerteza no momento). Na prática \Delta x pode ser maior, mas não menor que esse valor mínimo.

Resposta

(a) \Delta x_{e} \gtrsim 5,79\times10^{-8}\\ \mathrm{m} (aprox. 57,9\\ \mathrm{nm})
(b) \Delta x_{n} \gtrsim 3,15\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (aprox. 31,5\\ \mathrm{pm})
(c) A posição do nêutron pode ser conhecida com muito maior precisão (ou seja, \Delta x_{n} é muito menor que \Delta x_{e}).

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