De acordo como o princípio da correspondência, para n \rightarrow \infty espera-se resultados clássicos no átomo de Bohr. Por isso o comprimento de onda de De Broglie associado ao elétron (um resultado quântico) poderia ser menor em comparação ao raio da órbita de Bohr à medida que n aumenta. De fato, espera-se que \lambda / \mathrm{r} \rightarrow 0 à medida que n \rightarrow \infty. Mostre que este é o caso.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, no átomo de Bohr, a razão entre o comprimento de onda de De Broglie do elétron e o raio da órbita tende a zero quando n\to\infty. Ou seja, precisamos provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda}{r}=0.
Informações/condições que vamos usar (todas dadas pelo modelo de Bohr e pela hipótese de De Broglie):
  • a relação de De Broglie entre comprimento de onda e momento: \lambda = \dfrac{h}{p}, onde h é a constante de Planck e p é o momento linear do elétron;
  • momento do elétron: p = m v, onde m é a massa do elétron e v sua velocidade na órbita;
  • quantização do momento angular de Bohr: m v r = n\hbar, onde \hbar=\dfrac{h}{2\pi} e r é o raio da órbita quântica com número quântico principal n;
  • raio das órbitas de Bohr: r_n = n^2 a_0, onde a_0 é o raio de Bohr (constante), dada por \displaystyle a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m e^2}.
    Nada mais será assumido; na próxima etapa começamos a manipular essas expressões para obter \lambda/r.

Passo 2

A partir da quantização do momento angular, escrevemos a velocidade do elétron na órbita n. A relação é
m v_n r_n = n\hbar.
Isolando v_n obtemos
v_n=\frac{n\hbar}{m r_n}.
Aqui v_n é a velocidade na órbita de número quântico n, m a massa do elétron, r_n o raio dessa órbita e \hbar a constante reduzida de Planck.

Passo 3

Agora usamos a expressão do raio de Bohr \;r_n=n^2 a_0\; (dado no Passo 1) e substituímos em v_n:
v_n=\frac{n\hbar}{m (n^2 a_0)}=\frac{\hbar}{m n a_0}.
Multiplicando por m obtemos o momento linear do elétron na órbita n:
p_n = m v_n = \frac{\hbar}{n a_0}.
Expliquei: p_n é o momento, vem diretamente da velocidade encontrada e da definição p=m v.

Passo 4

Aplicamos a relação de De Broglie \lambda_n=\dfrac{h}{p_n}. Substituindo p_n da etapa anterior:
\lambda_n = \frac{h}{\displaystyle \frac{\hbar}{n a_0}} = h\cdot\frac{n a_0}{\hbar}.
Lembrando que h=2\pi\hbar, temos
\lambda_n = 2\pi n a_0.
Interpretação rápida: o comprimento de onda de De Broglie cresce linearmente com n (proporcional a n a_0).

Passo 5

Agora calculemos a razão pedida entre o comprimento de onda e o raio da órbita:
\frac{\lambda_n}{r_n}=\frac{2\pi n a_0}{n^2 a_0}=\frac{2\pi}{n}.
A álgebra cancelou a_0 e um fator n, sobrando \dfrac{2\pi}{n}.

Passo 6

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda_n}{r_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\pi}{n}=0.
Conclusão física: à medida que n cresce muito, o comprimento de onda de De Broglie do elétron fica muito pequeno comparado ao raio da órbita — o comportamento torna-se cada vez mais “clássico”, conforme o princípio da correspondência.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\lambda}{r}=0

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