De acordo como o princípio da correspondência, para
espera-se resultados clássicos no átomo de Bohr. Por isso o comprimento de onda de De Broglie associado ao elétron (um resultado quântico) poderia ser menor em comparação ao raio da órbita de Bohr à medida que
aumenta. De fato, espera-se que
à medida que
. Mostre que este é o caso.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, no átomo de Bohr, a razão entre o comprimento de onda de De Broglie do elétron e o raio da órbita tende a zero quando
. Ou seja, precisamos provar que
Informações/condições que vamos usar (todas dadas pelo modelo de Bohr e pela hipótese de De Broglie):
- a relação de De Broglie entre comprimento de onda e momento:
, onde é a constante de Planck e é o momento linear do elétron; - momento do elétron:
, onde é a massa do elétron e sua velocidade na órbita; - quantização do momento angular de Bohr:
, onde e é o raio da órbita quântica com número quântico principal ; - raio das órbitas de Bohr:
, onde é o raio de Bohr (constante), dada por .
Nada mais será assumido; na próxima etapa começamos a manipular essas expressões para obter.
Passo 2
A partir da quantização do momento angular, escrevemos a velocidade do elétron na órbita
. A relação é
Isolando
obtemos
Aqui
é a velocidade na órbita de número quântico
,
a massa do elétron,
o raio dessa órbita e
a constante reduzida de Planck.
Passo 3
Agora usamos a expressão do raio de Bohr
(dado no Passo 1) e substituímos em
:
Multiplicando por
obtemos o momento linear do elétron na órbita
:
Expliquei:
é o momento, vem diretamente da velocidade encontrada e da definição
.
Passo 4
Aplicamos a relação de De Broglie
. Substituindo
da etapa anterior:
Lembrando que
, temos
Interpretação rápida: o comprimento de onda de De Broglie cresce linearmente com
(proporcional a
).
Passo 5
Agora calculemos a razão pedida entre o comprimento de onda e o raio da órbita:
A álgebra cancelou
e um fator
, sobrando
.
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Conclusão física: à medida que
cresce muito, o comprimento de onda de De Broglie do elétron fica muito pequeno comparado ao raio da órbita — o comportamento torna-se cada vez mais “clássico”, conforme o princípio da correspondência.