Calcule os cinco comprimentos de onda mais longos da série de Balmer.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os cinco comprimentos de onda mais longos da série de Balmer.\n
Informações relevantes dadas/implícitas no enunciado:\n
Informações relevantes dadas/implícitas no enunciado:\n
- A série de Balmer corresponde a emissões que terminam no mesmo nível energético final
.\n - As transições possíveis são de níveis iniciais
para .\n - “Os cinco comprimentos de onda mais longos” significa as cinco menores energias de fóton (maiores comprimentos de onda) entre as transições permitidas para
.\n - Portanto precisamos determinar os comprimentos de onda das transições
para os cinco menores valores de que produzem emissões: isto é .
Passo 2
Apresento a fórmula que relaciona os comprimentos de onda das linhas (fórmula de Rydberg) e explico o que cada símbolo significa.\n
A fórmula de Rydberg para transições entre dois níveis de um átomo de hidrogênio (ou hidrogenoide) é
A fórmula de Rydberg para transições entre dois níveis de um átomo de hidrogênio (ou hidrogenoide) é
onde:\n
-
é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros se estiver em );\n -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio, que vale aproximadamente ;\n -
é o número quântico do nível final (um inteiro positivo);\n -
é o número quântico do nível inicial (inteiro maior que para emissão).\n
Explicação física curta: a diferença de energia entre os níveise é igual à energia do fóton emitido, e essa energia é . A fórmula acima é a forma prática já reduzida dessa relação para hidrogênio.
Passo 3
Decidimos quais transições correspondem aos cinco comprimentos de onda mais longos.\n
Para (série de Balmer), conforme
aumenta, a diferença de energia entre
e
aumenta (até um limite), logo o comprimento de onda diminui. Portanto o comprimento de onda mais longo ocorre para o menor
permitido, que é
. Assim os cinco comprimentos de onda mais longos correspondem às transições\n
Para
Passo 4
Vou manipular a expressão de Rydberg para cada caso e simplificar algebricamente antes de calcular numericamente (isso ajuda a fazer na prova sem erro de raciocínio).\n
Para temos
.\n
Invertemos para obter :
Para
Invertemos para obter
É prático transformar essa expressão em uma fração racional em função de
para cada
, depois substituir o valor numérico de
.
Passo 5
Cálculo para
.\n
Compute simbolicamente:
Compute simbolicamente:
Então
Substituindo
,
Comentário prático: essa linha é a famosa linha
em torno de
.
Passo 6
Cálculo para
.\n
Symbolicamente:
Symbolicamente:
logo
Numérico:
Essa é a linha
.
Passo 7
Cálculo para
.\n
Symbolicamente:
Symbolicamente:
logo
Numérico:
Essa é a linha
.
Passo 8
Cálculo para
.\n
Symbolicamente:
Symbolicamente:
logo
Numérico:
Essa é a linha
.
Passo 9
Cálculo para
.\n
Symbolicamente:
Symbolicamente:
logo
Numérico:
Essa é a linha
(ou simplesmente a quarta linha superior após
).