Calcule os cinco comprimentos de onda mais longos da série de Balmer.

Passo 1

O enunciado pede: calcular os cinco comprimentos de onda mais longos da série de Balmer.\n
Informações relevantes dadas/implícitas no enunciado:\n
  • A série de Balmer corresponde a emissões que terminam no mesmo nível energético final n_f=2.\n
  • As transições possíveis são de níveis iniciais n_i=3,4,5,\dots para n_f=2.\n
  • “Os cinco comprimentos de onda mais longos” significa as cinco menores energias de fóton (maiores comprimentos de onda) entre as transições permitidas para n_f=2.\n
  • Portanto precisamos determinar os comprimentos de onda das transições n_i\to2 para os cinco menores valores de n_i que produzem emissões: isto é n_i=3,4,5,6,7.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona os comprimentos de onda das linhas (fórmula de Rydberg) e explico o que cada símbolo significa.\n
A fórmula de Rydberg para transições entre dois níveis de um átomo de hidrogênio (ou hidrogenoide) é
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:\n
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros se R estiver em \mathrm{m^{-1}});\n
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio, que vale aproximadamente \displaystyle R=1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}};\n
  • n_f é o número quântico do nível final (um inteiro positivo);\n
  • n_i é o número quântico do nível inicial (inteiro maior que n_f para emissão).\n
    Explicação física curta: a diferença de energia entre os níveis n_i e n_f é igual à energia do fóton emitido, e essa energia é E=hc/\lambda. A fórmula acima é a forma prática já reduzida dessa relação para hidrogênio.

Passo 3

Decidimos quais transições correspondem aos cinco comprimentos de onda mais longos.\n
Para n_f=2 (série de Balmer), conforme n_i aumenta, a diferença de energia entre n_i e 2 aumenta (até um limite), logo o comprimento de onda diminui. Portanto o comprimento de onda mais longo ocorre para o menor n_i permitido, que é n_i=3. Assim os cinco comprimentos de onda mais longos correspondem às transições\n
3\to2,\quad 4\to2,\quad 5\to2,\quad 6\to2,\quad 7\to2.

Passo 4

Vou manipular a expressão de Rydberg para cada caso e simplificar algebricamente antes de calcular numericamente (isso ajuda a fazer na prova sem erro de raciocínio).\n
Para n_f=2 temos \displaystyle \frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{n^{2}}\right).\n
Invertemos para obter \lambda:
\lambda=\frac{1}{R\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
É prático transformar essa expressão em uma fração racional em função de R para cada n, depois substituir o valor numérico de R.

Passo 5

Cálculo para n_i=3.\n
Compute simbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R\!\left(\frac{9-4}{36}\right)=R\cdot\frac{5}{36}.
Então
\lambda=\frac{36}{5R}.
Substituindo R=1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}},
\lambda=\frac{36}{5\cdot 1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx 6{,}5628\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656{,}28\\ \mathrm{nm}.
Comentário prático: essa linha é a famosa linha H_\alpha em torno de 656{,}3\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Cálculo para n_i=4.\n
Symbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)=R\!\left(\frac{4-1}{16}\right)=R\cdot\frac{3}{16},
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\lambda=\frac{16}{3R}.
Numérico:
\lambda=\frac{16}{3\cdot 1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}8613\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=486{,}13\\ \mathrm{nm}.
Essa é a linha H_\beta.

Passo 7

Cálculo para n_i=5.\n
Symbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{25}\right)=R\!\left(\frac{25-4}{100}\right)=R\cdot\frac{21}{100},
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\lambda=\frac{100}{21R}.
Numérico:
\lambda=\frac{100}{21\cdot 1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}3405\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=434{,}05\\ \mathrm{nm}.
Essa é a linha H_\gamma.

Passo 8

Cálculo para n_i=6.\n
Symbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\right)=R\!\left(\frac{9-1}{36}\right)=R\cdot\frac{8}{36}=R\cdot\frac{2}{9},
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\lambda=\frac{9}{2R}.
Numérico:
\lambda=\frac{9}{2\cdot 1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}1017\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=410{,}17\\ \mathrm{nm}.
Essa é a linha H_\delta.

Passo 9

Cálculo para n_i=7.\n
Symbolicamente:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{49}\right)=R\!\left(\frac{49-4}{196}\right)=R\cdot\frac{45}{196},
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\lambda=\frac{196}{45R}.
Numérico:
\lambda=\frac{196}{45\cdot 1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}9701\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=397{,}01\\ \mathrm{nm}.
Essa é a linha H_{\epsilon} (ou simplesmente a quarta linha superior após H_\alpha,H_\beta,H_\gamma,H_\delta).

Resposta

\lambda_{3\to2}=656{,}28\\ \mathrm{nm}\n
\lambda_{4\to2}=486{,}13\\ \mathrm{nm}\n
\lambda_{5\to2}=434{,}05\\ \mathrm{nm}\n
\lambda_{6\to2}=410{,}17\\ \mathrm{nm}\n
\lambda_{7\to2}=397{,}01\\ \mathrm{nm}

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