(a) Calcule, de acordo com o modelo de Bohr, a velocidade do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. (b) Calcule o comprimento de onda de De Broglie correspondente. (c) Compare as respostas de (a) e (b), determine a relação entre o comprimento de onda de De Broglie \lambda e o raio a_{0} do estado fundamental da órbita de Bohr.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, estado fundamental (ou seja, n=1):
  1. (a) Calcular a velocidade do elétron no estado fundamental.
  2. (b) Calcular o comprimento de onda de De Broglie correspondente a essa velocidade.
  3. (c) Comparar (a) e (b) e determinar a relação entre o comprimento de onda de De Broglie \lambda e o raio a_{0} do estado fundamental da órbita de Bohr.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado implicitamente ou constantes físicas conhecidas):
\begin{aligned} &\text{oqui temos:} \text{ átomo de hidrogênio (carga }+e\text{ no próton), elétron de massa }m_e,\\\ &\text{estado fundamental }n=1. \\\ &\text{Constantes físicas que usaremos:} \\\ &\quad e=\\\ 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \text{C},\\\ &\quad m_e=\\\ 9{,}1093837015\times 10^{-31}\\ \text{kg},\\\ &\quad h=\\\ 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \text{J·s},\\\ &\quad \hbar=\dfrac{h}{2\pi}=1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \text{J·s},\\\ &\quad \varepsilon_0=8{,}8541878128\times 10^{-12}\\ \text{F·m}^{-1},\\\ &\quad c=2{,}99792458\times 10^{8}\\ \text{m·s}^{-1}. \end{aligned}áêóéí
Nada mais será assumido; agora vamos partir para a resolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro passo técnico do modelo de Bohr: escrever as duas condições básicas que definem órbitas estacionárias.
  1. Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta: o elétron descreve órbita circular, então a força elétrica fornece a aceleração centrípeta. A força elétrica de atração entre próton e elétron vale
F_C=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2},
onde r é o raio da órbita e e é a carga elementar. A força centrípeta necessária para um movimento circular de velocidade v é
F_{\text{cent}}=\frac{m_e v^2}{r}.
Igualando as duas (porque a força elétrica é a centrípeta):
\frac{m_e v^2}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}.
  1. Quantização do momento angular (condição de Bohr): o momento angular do elétron só pode ser múltiplo inteiro de \hbar:
m_e v r = n\hbar.
Para o estado fundamental, n=1, logo
m_e v r = \hbar.
Eu expliquei o que cada símbolo significa: m_e massa do elétron, v velocidade, r raio da órbita, \hbar constante reduzida de Planck, \varepsilon_0 permissividade do vácuo e e carga do elétron.

Passo 3

Agora vamos eliminar r (ou v) entre as duas equações para achar v do estado n=1.
Da quantização do momento angular isolamos r:
r=\frac{\hbar}{m_e v}.
Substituímos esse r na equação de forças (igualdade entre Coulomb e centrípeta):
\frac{m_e v^2}{\,\dfrac{\hbar}{m_e v}\,}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\left(\dfrac{\hbar}{m_e v}\right)^2}.
Vamos simplificar passo a passo. O lado esquerdo:
\frac{m_e v^2}{\hbar/(m_e v)} = m_e v^2 \cdot \frac{m_e v}{\hbar} = \frac{m_e^2 v^3}{\hbar}.
O lado direito:
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{(\hbar/(m_e v))^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} e^2 \cdot \frac{m_e^2 v^2}{\hbar^2}.
Igualando os dois:
\frac{m_e^2 v^3}{\hbar} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} e^2 \cdot \frac{m_e^2 v^2}{\hbar^2}.
Podemos cancelar m_e^2 v^2 dos dois lados (não nulo), resultando:
\frac{v}{\hbar} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\hbar^2}.
Multiplicando ambos os lados por \hbar:
v = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\hbar}.
Essa é a expressão analítica da velocidade do elétron no estado fundamental segundo Bohr. Note que a expressão é independente de m_e após as simplificações — a dependência de massa aparece no raio, não na expressão direta desta forma.

Passo 4

Interpretação e conexão com a constante de estrutura fina. A expressão acima pode ser escrita de outra forma introduzindo a constante adimensional conhecida como constante de estrutura fina \alpha, definida por
\alpha = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\hbar c}.
Compare com v: multiplicando e dividindo por c em v obtemos
v = \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\hbar c}\right) c = \alpha c.
Ou seja, a velocidade do elétron no estado fundamental é simplesmente uma fração \alpha da velocidade da luz. A constante \alpha é aproximadamente
\alpha \approx 7{,}2973525693\times 10^{-3}.
Portanto numericamente
v=\alpha c \approx 7{,}2973525693\times 10^{-3}\times 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \text{m·s}^{-1}.
Vamos calcular:
v\approx 2{,}187691263\times 10^{6}\\ \text{m·s}^{-1}.
Vou arredondar de forma prática para uma precisão compatível com exercícios de prova:
v\approx 2{,}19\times 10^{6}\\ \text{m·s}^{-1}.
Isso já responde a (a) numericamente; agora partimos para o comprimento de De Broglie.

Passo 5

Comprimento de onda de De Broglie: definição e cálculo. A fórmula de De Broglie para uma partícula de massa m e velocidade v é
\lambda=\frac{h}{m v},
onde h é a constante de Planck. Aqui aplicamos ao elétron com m=m_e e v já obtido.
Antes de substituir numericamente, há uma simplificação elegante usando a condição de Bohr m_e v r=\hbar. Multiplicando essa condição por 2\pi
m_e v (2\pi r) = 2\pi\hbar = h.
Rearranjando:
\frac{h}{m_e v} = 2\pi r.
Mas o lado esquerdo é justamente \lambda. Logo temos, para qualquer órbita de Bohr com número quântico n,
\lambda = \frac{h}{m_e v} = 2\pi r.
Para o estado fundamental n=1, r=a_0 (o raio de Bohr), então
\lambda = 2\pi a_0.
Essa é uma relação conceitual importantíssima: uma volta completa da órbita (circunferência 2\pi r) contém exatamente uma das ondas de De Broglie no caso n=1. (Mais em geral, para o nível n, cabem n comprimentos de onda na circunferência: n\lambda=2\pi r.)

Passo 6

Cálculo numérico do comprimento de onda com os valores: podemos usar \lambda=h/(m_e v) com os números ou usar \lambda=2\pi a_0 com o valor conhecido de a_0. Vou calcular os dois para checar consistência.
O raio de Bohr é dado por
a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2},
cujo valor numérico conhecido é
a_0\approx 5{,}29177210903\times 10^{-11}\\ \text{m}.
Assim
\lambda = 2\pi a_0 \approx 2\pi \times 5{,}29177210903\times 10^{-11}\\ \text{m} \approx 3{,}324918\times 10^{-10}\\ \text{m}.
Se fizermos \lambda = h/(m_e v) com v\approx 2{,}187691263\times 10^{6}\\ \text{m·s}^{-1} obtém-se praticamente o mesmo valor (diferenças apenas de arredondamento):
\lambda \approx 3{,}325\times 10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretação final e comparação: resumindo o que encontramos
  • Velocidade do elétron no estado fundamental:
v=\alpha c\approx 2{,}19\times 10^{6}\\ \text{m·s}^{-1}.
  • Comprimento de onda de De Broglie correspondente:
\lambda=\frac{h}{m_e v}\approx 3{,}325\times 10^{-10}\\ \text{m}.
  • Relação entre \lambda e a_0: como mostrado, usando a quantização do momento angular,
\lambda = 2\pi a_0.
Interpretação física rápida e motivadora: no estado fundamental do modelo de Bohr uma circunferência da órbita tem exatamente um comprimento de onda de De Broglie; isso é o motivo físico-intuitivo por trás da condição m_e v r = n\hbar: para que a onda seja estacionária não pode haver descontinuidade ao circular — tem que caber um número inteiro de comprimentos de onda.

Resposta

(a) v=\alpha c\approx 2{,}187691263\times 10^{6}\\ \text{m·s}^{-1}
(b) \lambda=\dfrac{h}{m_e v}\approx 3{,}325\times 10^{-10}\\ \text{m}
(c) \lambda=2\pi a_{0}

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