(a) Calcule, de acordo com o modelo de Bohr, a velocidade do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio. (b) Calcule o comprimento de onda de De Broglie correspondente. (c) Compare as respostas de (a) e (b), determine a relação entre o comprimento de onda de De Broglie
e o raio
do estado fundamental da órbita de Bohr.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o átomo de hidrogênio no modelo de Bohr, estado fundamental (ou seja,
):
- (a) Calcular a velocidade do elétron no estado fundamental.
- (b) Calcular o comprimento de onda de De Broglie correspondente a essa velocidade.
- (c) Comparar (a) e (b) e determinar a relação entre o comprimento de onda de De Broglie
e o raio do estado fundamental da órbita de Bohr.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas pelo enunciado implicitamente ou constantes físicas conhecidas):
Nada mais será assumido; agora vamos partir para a resolução passo a passo.
Passo 2
Primeiro passo técnico do modelo de Bohr: escrever as duas condições básicas que definem órbitas estacionárias.
- Equilíbrio entre força elétrica (Coulomb) e força centrípeta: o elétron descreve órbita circular, então a força elétrica fornece a aceleração centrípeta. A força elétrica de atração entre próton e elétron vale
onde
é o raio da órbita e
é a carga elementar. A força centrípeta necessária para um movimento circular de velocidade
é
Igualando as duas (porque a força elétrica é a centrípeta):
- Quantização do momento angular (condição de Bohr): o momento angular do elétron só pode ser múltiplo inteiro de
:
Para o estado fundamental,
, logo
Eu expliquei o que cada símbolo significa:
massa do elétron,
velocidade,
raio da órbita,
constante reduzida de Planck,
permissividade do vácuo e
carga do elétron.
Passo 3
Agora vamos eliminar
(ou
) entre as duas equações para achar
do estado
.
Da quantização do momento angular isolamos
:
Substituímos esse
na equação de forças (igualdade entre Coulomb e centrípeta):
Vamos simplificar passo a passo. O lado esquerdo:
O lado direito:
Igualando os dois:
Podemos cancelar
dos dois lados (não nulo), resultando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a expressão analítica da velocidade do elétron no estado fundamental segundo Bohr. Note que a expressão é independente de
após as simplificações — a dependência de massa aparece no raio, não na expressão direta desta forma.
Passo 4
Interpretação e conexão com a constante de estrutura fina. A expressão acima pode ser escrita de outra forma introduzindo a constante adimensional conhecida como constante de estrutura fina
, definida por
Compare com
: multiplicando e dividindo por
em
obtemos
Ou seja, a velocidade do elétron no estado fundamental é simplesmente uma fração
da velocidade da luz. A constante
é aproximadamente
Portanto numericamente
Vamos calcular:
Vou arredondar de forma prática para uma precisão compatível com exercícios de prova:
Isso já responde a (a) numericamente; agora partimos para o comprimento de De Broglie.
Passo 5
Comprimento de onda de De Broglie: definição e cálculo. A fórmula de De Broglie para uma partícula de massa
e velocidade
é
onde
é a constante de Planck. Aqui aplicamos ao elétron com
e
já obtido.
Antes de substituir numericamente, há uma simplificação elegante usando a condição de Bohr
. Multiplicando essa condição por
dá
Rearranjando:
Mas o lado esquerdo é justamente
. Logo temos, para qualquer órbita de Bohr com número quântico
,
Para o estado fundamental
,
(o raio de Bohr), então
Essa é uma relação conceitual importantíssima: uma volta completa da órbita (circunferência
) contém exatamente uma das ondas de De Broglie no caso
. (Mais em geral, para o nível
, cabem
comprimentos de onda na circunferência:
.)
Passo 6
Cálculo numérico do comprimento de onda com os valores: podemos usar
com os números ou usar
com o valor conhecido de
. Vou calcular os dois para checar consistência.
O raio de Bohr é dado por
cujo valor numérico conhecido é
Assim
Se fizermos
com
obtém-se praticamente o mesmo valor (diferenças apenas de arredondamento):
Passo 7
Interpretação final e comparação: resumindo o que encontramos
- Velocidade do elétron no estado fundamental:
- Comprimento de onda de De Broglie correspondente:
- Relação entre
e : como mostrado, usando a quantização do momento angular,
Interpretação física rápida e motivadora: no estado fundamental do modelo de Bohr uma circunferência da órbita tem exatamente um comprimento de onda de De Broglie; isso é o motivo físico-intuitivo por trás da condição
: para que a onda seja estacionária não pode haver descontinuidade ao circular — tem que caber um número inteiro de comprimentos de onda.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)