De acordo com a Seção 10 , as três raízes cúbicas de um número complexo não nulo
podem ser escritas como
, em que
é a raiz cúbica principal de
e
Mostre que se
, então
e as duas outras raízes cúbicas, em forma retangular, são os números
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as três raízes cúbicas de
usando a forma polar e a fórmula
, onde
é a raiz principal e
. Vamos usar teoria de números complexos (módulo, argumento e fórmula de De Moivre) para obter
e, em seguida, as outras raízes.
Passo 2
Calcule o módulo e o argumento de
. Primeiro, o módulo:
Para o argumento
, como
e
, temos
no segundo quadrante, logo .
no segundo quadrante, logo
Passo 3
Obtenha a raiz cúbica principal
por fórmula de De Moivre:
Assim,
Passo 4
Calcule
. Como
, multiplique:
Distribuindo:
Logo
Passo 5
Calcule
. Note que
. Então:
Fazendo a distribuição:
Logo
Resposta
As três raízes cúbicas de
são: