De acordo com a Seção 10 , as três raízes cúbicas de um número complexo não nulo z0 podem ser escritas como c0, c0 omega3, c0 omega2^3, em que c0 é a raiz cúbica principal de z0 e
omega3=exp (i 2 pi3)=-1+raiz3 i2
Mostre que se z0=-4 raiz2+4 raiz2 i, então c0=raiz2(1+i) e as duas outras raízes cúbicas, em forma retangular, são os números
c0 omega3=-(raiz3+1)+(raiz3-1) iraiz2, c0 omega3^2=(raiz3-1)-(raiz3+1) iraiz2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as três raízes cúbicas de
z0=-4raiz2+4raiz2,i usando a forma polar e a fórmula
ck=c0,omega3^k, k=0,1,2, onde c0 é a raiz principal e
omega3=e^i2pi/3=-1+raiz3,i2. Vamos usar teoria de números complexos (módulo, argumento e fórmula de De Moivre) para obter c0 e, em seguida, as outras raízes.

Passo 2

Calcule o módulo e o argumento de z0. Primeiro, o módulo:
|z0|=raiz(-4raiz2)^2+(4raiz2)^2=raiz32+32=8
Para o argumento theta=arg(z0), como x=-4raiz2<0 e y=4raiz2>0, temos
theta=3pi/4
no segundo quadrante, logo .

Passo 3

Obtenha a raiz cúbica principal c0 por fórmula de De Moivre:
|c0|=|z0|^1/3=8^1/3=2,
arg(c0)=arg(z0)3=3pi/43=pi4
Assim,
c0=2,e^ipi/4=2l(raiz22+iraiz22r)=raiz2(1+i)

Passo 4

Calcule c0,omega3. Como omega3=-1+raiz3i2, multiplique:
c0omega3=raiz2(1+i)cdot-1+raiz3i2
Distribuindo:
(1+i)(-1+raiz3i)=-1+raiz3i -i +raiz3i^2=-1+( raiz3-1)i -raiz3
Logo
c0omega3=raiz22l[-(1+raiz3)+( raiz3-1)ir]=-(raiz3+1)+( raiz3-1)iraiz2

Passo 5

Calcule c0,omega3^2. Note que omega3^2=e^i4pi/3=-1-raiz3i2. Então:
c0omega3^2=raiz2(1+i)cdot-1-raiz3i2
Fazendo a distribuição:
(1+i)(-1-raiz3i)=-1-raiz3i -i -raiz3i^2=-1-(raiz3+1)i +raiz3
Logo
c0omega3^2=raiz22l[(raiz3-1)-( raiz3+1)ir]=(raiz3-1)-( raiz3+1)iraiz2

Resposta

As três raízes cúbicas de z0=-4raiz2+4raiz2,i são:
c0=raiz2(1+i),
c0omega3=-(raiz3+1)+( raiz3-1)iraiz2,
c0omega3^2=(raiz3-1)-( raiz3+1)iraiz2

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