Encontre os quatro zeros do polinômio
, sendo um deles
Em seguida, use esses zeros para fatorar
fatores quadráticos de coeficientes reais.
Passo 1
O exercício pede para encontrar as quatro raízes do polinômio
(sabendo que uma delas é
) e depois fatorar o polinômio em dois fatores quadráticos de coeficientes reais.
Passo 2
Para achar as raízes de
, escrevemos
em forma trigonométrica. Como
, as raízes quartas de
são dadas por
Passo 3
Agora calculamos cada raiz usando
:
$$\begin{aligned}z_0 &= \sqrt2,e^{i\pi/4} = 1 + i,\ z_1 &= \sqrt2,e^{i3\pi/4} = -1 + i,\ z_2 &= \sqrt2,e^{i5\pi/4} = -1 - i,\ z_3 &= \sqrt2,e^{i7\pi/4} = 1 - i.
\end{aligned}$$
Passo 4
Para obter fatores com coeficientes reais, agrupamos as raízes conjugadas em quadráticos. Primeiro as raízes
e
:
Passo 5
Depois as raízes
e
: