Encontre os quatro zeros do polinômio z^4+4, sendo um deles
z0=raiz2 e^i pi / 4=1+i
Em seguida, use esses zeros para fatorar z^2+4 em fatores quadráticos de coeficientes reais.

Passo 1

O exercício pede para encontrar as quatro raízes do polinômio z^4 + 4 (sabendo que uma delas é z0 = raiz2 e^ipi/4 = 1 + i) e depois fatorar o polinômio em dois fatores quadráticos de coeficientes reais.

Passo 2

Para achar as raízes de z^4 + 4 = 0, escrevemos -4 em forma trigonométrica. Como -4 = 4e^ipi, as raízes quartas de -4 são dadas por
zk = 4^1/4 e^i(pi + 2pi k)/4, k = 0,1,2,3

Passo 3

Agora calculamos cada raiz usando 4^1/4 = raiz2:
$$\begin{aligned}z_0 &= \sqrt2,e^{i\pi/4} = 1 + i,\ z_1 &= \sqrt2,e^{i3\pi/4} = -1 + i,\ z_2 &= \sqrt2,e^{i5\pi/4} = -1 - i,\ z_3 &= \sqrt2,e^{i7\pi/4} = 1 - i.
\end{aligned}$$

Passo 4

Para obter fatores com coeficientes reais, agrupamos as raízes conjugadas em quadráticos. Primeiro as raízes 1 + i e 1 - i:
(z - (1+i))(z - (1-i)) = z^2 - 2z + 2

Passo 5

Depois as raízes -1 + i e -1 - i:
(z - (-1+i))(z - (-1-i)) = z^2 + 2z + 2

Resposta

z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)

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