Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de certos polígonos regulares e identifique a raiz principal.
;
Passo 1
O enunciado pede para achar todas as raízes cúbicas de
, escrever suas coordenadas retangulares, mostrar que elas são vértices de um polígono regular e indicar a raiz principal. Vamos usar conceitos de números complexos e raízes n-ésimas.
Passo 2
Para encontrar as raízes
-ésimas de um número complexo, usamos a forma polar e a fórmula
Escrevemos
em forma polar. O módulo é
e o argumento principal é
, pois
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula para
e
:
Calculamos cada caso:
Passo 4
Observamos que os pontos
,
e
são vértices de um triângulo equilátero centrado na origem.
A raiz principal corresponde ao , com argumento principal
. Portanto, a raiz principal é
.
A raiz principal corresponde ao
Resposta
As três raízes são
Elas formam um triângulo equilátero no plano complexo, e a raiz principal é