Em cada caso, encontre todas as raízes em coordenadas retangulares, exiba-as como vértices de certos polígonos regulares e identifique a raiz principal.
(-1)^1 / 3;

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as raízes cúbicas de -1, escrever suas coordenadas retangulares, mostrar que elas são vértices de um polígono regular e indicar a raiz principal. Vamos usar conceitos de números complexos e raízes n-ésimas.

Passo 2

Para encontrar as raízes n-ésimas de um número complexo, usamos a forma polar e a fórmula
zk = r^1/nl[cosl(tfractheta+2kpinr)+isinl(tfractheta+2kpinr)r], k=0,1,dots,n-1
Escrevemos -1 em forma polar. O módulo é r=1 e o argumento principal é theta=pi, pois -1=exp(ipi).

Passo 3

Aplicamos a fórmula para n=3 e k=0,1,2:
zk=1^1/3l[cosl(tfracpi+2kpi3r)+isinl(tfracpi+2kpi3r)r]
Calculamos cada caso:
z0&=cosl(tfracpi3r)+isinl(tfracpi3r)=tfrac12+itfracraiz32, z1&=cos(pi)+isin(pi)=-1+0,i=-1, z2&=cosl(tfrac5pi3r)+isinl(tfrac5pi3r)=tfrac12-itfracraiz32

Passo 4

Observamos que os pontos
tfrac12+itfracraiz32, -1 e tfrac12-itfracraiz32 são vértices de um triângulo equilátero centrado na origem.
A raiz principal corresponde ao k=0, com argumento principal tfracpi3. Portanto, a raiz principal é tfrac12+itfracraiz32.

Resposta

As três raízes são
tfrac12+itfracraiz32,; -1,; tfrac12 - itfracraiz32
Elas formam um triângulo equilátero no plano complexo, e a raiz principal é
tfrac12 + itfracraiz32.

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