1. De acordo com a teoria eletromagnética, uma carga q acelerada emite energia E por unidade de tempo em uma taxa dada por:
\frac{d E}{d t}=\frac{2}{3} \frac{q^{2}}{c^{3}}\left|\frac{d v}{d t}\right|^{2}
Considere o elétron girando em uma órbita circular e mostre que o tempo \tau que o elétron gasta para “espiralar” na direção do núcleo é dado por:

Passo 1

O enunciado dá a potência irradiada por uma carga acelerada:
\frac{dE}{dt}=\frac{2}{3}\,\frac{q^{2}}{c^{3}}\left|\frac{dv}{dt}\right|^{2},
e pede para encontrar o tempo \tau que um elétron, girando numa órbita circular de raio inicial r_{0}, demora para espiralar até o núcleo (isto é, tempo para o raio colapsar). Dados/variáveis que vou usar (peguei q do enunciado para a carga do elétron; chamo de Q a carga do núcleo, que para hidrogênio é Q=q):
  • m: massa do elétron (constante).
  • q: módulo da carga do elétron (constante).
  • Q: carga do núcleo (constante); para hidrogênio Q=q.
  • c: velocidade da luz (constante).
  • r: raio da órbita, que varia no tempo; a condição inicial é r(0)=r_{0}.
    A tarefa: escrever \tau em função dessas quantidades.

Passo 2

Relacionar velocidade orbital v com o raio r usando a condição de órbita circular (força centrípeta = força Coulomb). Em unidades em que a força Coulomb é \dfrac{qQ}{r^{2}} (unidades Gaussianas/CGS; a fórmula do enunciado corresponde a esse sistema), a igualdade é
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{qQ}{r^{2}}.
Isolando v^{2} obtemos
v^{2}=\frac{qQ}{m r}.
Explicação curta: para manter-se em órbita circular a aceleração centrípeta v^{2}/r deve ser fornecida pela força elétrica por unidade de massa.

Passo 3

Calcular a aceleração (módulo) do elétron na órbita circular. A aceleração centrípeta é
a=\frac{v^{2}}{r}.
Substituindo v^{2} da etapa anterior,
a=\frac{qQ}{m r^{2}}.
Então o quadrado da aceleração é
a^{2}=\frac{q^{2}Q^{2}}{m^{2} r^{4}}.

Passo 4

Substituir a^{2} na expressão da potência irradiada (fórmula de Larmor do enunciado). Assim a potência P irradiada é
P=\frac{dE}{dt}=\frac{2}{3}\frac{q^{2}}{c^{3}}\,a^{2} =\frac{2}{3}\frac{q^{2}}{c^{3}}\cdot\frac{q^{2}Q^{2}}{m^{2} r^{4}} =\frac{2}{3}\frac{q^{4}Q^{2}}{m^{2} c^{3} r^{4}}.
Observação: P>0 é a taxa de energia perdida pelo elétron por radiação.

Passo 5

Escrever a energia total do elétron na órbita circular em função de r. A energia cinética é
T=\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}m\cdot\frac{qQ}{m r}=\frac{qQ}{2r},
e a energia potencial Coulombiana é
U=-\frac{qQ}{r}.
Portanto a energia total (mecânica) é
E(r)=T+U=\frac{qQ}{2r}-\frac{qQ}{r}=-\frac{qQ}{2r}.
Comentário: para órbitas ligadas em potencial Coulombiano a energia total é negativa e igual a metade (negativa) da energia potencial por causa do teorema do virial.

Passo 6

Relacionar a variação temporal do raio com a potência irradiada. Diferenciando E(r) em relação ao tempo:
\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dr}\frac{dr}{dt}=\frac{qQ}{2r^{2}}\frac{dr}{dt}.
A potência irradiada P é igual à energia perdida por unidade de tempo, ou seja P=-\dfrac{dE}{dt}. Logo
-\frac{qQ}{2r^{2}}\frac{dr}{dt}=P=\frac{2}{3}\frac{q^{4}Q^{2}}{m^{2} c^{3} r^{4}}.
Despejando \dfrac{dr}{dt}:
\frac{dr}{dt}=-\frac{2r^{2}}{qQ}\cdot\frac{2}{3}\frac{q^{4}Q^{2}}{m^{2} c^{3} r^{4}} =-\frac{4}{3}\frac{q^{3}Q}{m^{2} c^{3}}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
Observação: o sinal negativo indica que r diminui com o tempo (espiralando para o núcleo).

Passo 7

Integrar para obter o tempo que o raio leva para reduzir de r_{0} até zero (tempo de queda). Escrevendo
\frac{dr}{dt}=-A\frac{1}{r^{2}},\qquad\text{com}\qquad A=\frac{4}{3}\frac{q^{3}Q}{m^{2} c^{3}},
temos
dt=-\frac{1}{A}r^{2}\,dr.
O tempo total \tau para ir de r_{0} a 0 é
\tau=\int_{0}^{\tau} dt=\int_{r_{0}}^{0}-\frac{1}{A}r^{2}\,dr =\frac{1}{A}\int_{0}^{r_{0}} r^{2}\,dr =\frac{1}{A}\cdot\frac{r_{0}^{3}}{3}.
Substituindo A:
\tau=\frac{1}{\dfrac{4}{3}\dfrac{q^{3}Q}{m^{2} c^{3}}}\cdot\frac{r_{0}^{3}}{3} =\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{3}Q}.

Passo 8

Conclusão e formas úteis: a expressão final é
\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{3}Q}.
Se o núcleo for um próton com Q=q (caso do átomo de hidrogênio), isso reduz a
\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{4}}.
Pequeno incentivo: essa estimação clássica mostra que, sem quantização, o elétron cairia muito rapidamente — uma das razões históricas para desenvolver a teoria quântica.

Resposta

\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{3}Q}
\text{(para }Q=q\text{, isto é, hidrogênio: }\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{4}}\text{)}éê

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