e pede para encontrar o tempo \tau que um elétron, girando numa órbita circular de raio inicial r_{0}, demora para espiralar até o núcleo (isto é, tempo para o raio colapsar). Dados/variáveis que vou usar (peguei q do enunciado para a carga do elétron; chamo de Q a carga do núcleo, que para hidrogênio é Q=q):
m: massa do elétron (constante).
q: módulo da carga do elétron (constante).
Q: carga do núcleo (constante); para hidrogênio Q=q.
c: velocidade da luz (constante).
r: raio da órbita, que varia no tempo; a condição inicial é r(0)=r_{0}.
A tarefa: escrever \tau em função dessas quantidades.
Passo 2
Relacionar velocidade orbital v com o raio r usando a condição de órbita circular (força centrípeta = força Coulomb). Em unidades em que a força Coulomb é \dfrac{qQ}{r^{2}} (unidades Gaussianas/CGS; a fórmula do enunciado corresponde a esse sistema), a igualdade é
\frac{m v^{2}}{r}=\frac{qQ}{r^{2}}.
Isolando v^{2} obtemos
v^{2}=\frac{qQ}{m r}.
Explicação curta: para manter-se em órbita circular a aceleração centrípeta v^{2}/r deve ser fornecida pela força elétrica por unidade de massa.
Passo 3
Calcular a aceleração (módulo) do elétron na órbita circular. A aceleração centrípeta é
a=\frac{v^{2}}{r}.
Substituindo v^{2} da etapa anterior,
a=\frac{qQ}{m r^{2}}.
Então o quadrado da aceleração é
a^{2}=\frac{q^{2}Q^{2}}{m^{2} r^{4}}.
Passo 4
Substituir a^{2} na expressão da potência irradiada (fórmula de Larmor do enunciado). Assim a potência P irradiada é
Comentário: para órbitas ligadas em potencial Coulombiano a energia total é negativa e igual a metade (negativa) da energia potencial por causa do teorema do virial.
Passo 6
Relacionar a variação temporal do raio com a potência irradiada. Diferenciando E(r) em relação ao tempo:
Se o núcleo for um próton com Q=q (caso do átomo de hidrogênio), isso reduz a
\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{4}}.
Pequeno incentivo: essa estimação clássica mostra que, sem quantização, o elétron cairia muito rapidamente — uma das razões históricas para desenvolver a teoria quântica.
Resposta
\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{3}Q}
\text{(para }Q=q\text{, isto é, hidrogênio: }\tau=\frac{m^{2} c^{3} r_{0}^{3}}{4 q^{4}}\text{)}éê