1. Uma particula \alpha de 5,30 \mathrm{MeV} é espalhada em ängulo de 60^{\circ} ao atravessar uma folha fina de ouro. Encontre:
a) a distância de maior aproximação para uma colisão frontal;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo que vou usar está aqui):
  • Uma partícula \alpha com energia cinética inicial K = 5,30\\ \mathrm{MeV}.
  • Alvo: folha fina de ouro. Para ouro usa-se Z_{\text{Au}} = 79.
  • Carga da partícula \alpha: Z_{\alpha}=2 (isto é, carga +2e).
  • A pergunta (a) pede: encontrar a distância de maior aproximação para uma colisão frontal (isto é, colisão de impacto zero, “head-on”).
Observações explícitas que vou assumir (comum neste tipo de exercício):
  • O núcleo de ouro é muito mais massivo que a partícula \alpha, portanto a sua energia de recuo é desprezível (núcleo praticamente fixo).
  • A colisão frontal significa que toda a energia cinética inicial disponível, até o ponto de maior aproximação, é convertida em energia potencial eletrostática repulsiva entre as cargas.

Passo 2

Princípio físico / fórmula que vamos usar (aula rápida e bem explicada).
Para duas cargas pontuais q_1 e q_2 separadas por distância r, a energia potencial eletrostática é dada por
U(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r}.
Aqui:
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • q_1 e q_2 são as cargas envolvidas.
No caso da colisão frontal entre a partícula \alpha (carga q_1=Z_{\alpha} e) e o núcleo de ouro (carga q_2=Z_{\text{Au}} e), a energia potencial no ponto de maior aproximação r_{\min} vale
U(r_{\min})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z_{\alpha} Z_{\text{Au}} e^2}{r_{\min}}.
Como a energia cinética inicial K é convertida totalmente em U(r_{\min}) no ponto de retorno (assumindo que não há perdas e que não entra em jogo a força nuclear),
aplicamos conservação de energia:
K = U(r_{\min}).

Passo 3

Isolando r_{\min} na equação de conservação de energia:
K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z_{\alpha} Z_{\text{Au}} e^2}{r_{\min}} \quad\Longrightarrow\quad r_{\min} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Z_{\alpha} Z_{\text{Au}} e^2}{K}.
Explicando cada termo:
  • r_{\min} é a distância de maior aproximação que queremos.
  • Z_{\alpha}=2, Z_{\text{Au}}=79.
  • e é a carga elementar.
  • K está em \mathrm{MeV} (vamos trabalhar em unidades convenientes para física nuclear).

Passo 4

Uso de uma constante prático-conveniente (truque usado em física nuclear para evitar conversões chatas).
A combinação \dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0} é frequentemente expressa como
\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \approx 1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
Isto significa que, se K estiver em \mathrm{MeV}, r_{\min} sairá em \mathrm{fm} (femtômetros, 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}) usando a fórmula:
r_{\min}(\mathrm{fm}) = \frac{1,44\;(\mathrm{MeV\cdot fm})\;Z_{\alpha} Z_{\text{Au}}}{K(\mathrm{MeV})}.
Substituindo os valores:
Z_{\alpha}Z_{\text{Au}} = 2\cdot79 = 158,
r_{\min} = \frac{1,44\cdot 158}{5,30}\\ \mathrm{fm}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo:
Multiplicação do numerador:
1,44\cdot 158 = 227,52\\ (\mathrm{MeV\cdot fm}).
Dividindo pela energia:
r_{\min} = \frac{227,52}{5,30}\\ \mathrm{fm} = 42,94\\ \mathrm{fm}\\ (\text{aproximadamente}).
Convertendo para metros:
r_{\min} = 42,94\\ \mathrm{fm} = 42,94\times 10^{-15}\\ \mathrm{m} = 4,294\times 10^{-14}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação física curta (ajuda a entender o resultado):
  • O raio típico de um núcleo de ouro ( A\approx197) é da ordem R\approx 1,2\,A^{1/3}\\ \mathrm{fm}\approx 7\\ \mathrm{fm}. Nosso r_{\min}\approx 43\\ \mathrm{fm} é muito maior que 7\\ \mathrm{fm}, então a aproximação puramente eletrostática (sem forças nucleares) é consistente.
  • Também confirma que a partícula nunca “atinge” o núcleo neste caso energético: ela é desviada pelo campo elétrico bem antes.

Resposta

r_{\min}=4,29\times10^{-14}\\ \mathrm{m}=42,9\\ \mathrm{fm}

Exercícios relacionados