B) Obtenha uma expressão que relacione a frequência
da radiação eletromagnética emitida em uma transição entre estados vizinhos do átomo e as frequências do movimento orbital do elétron nestes estados.
Passo 1
O que o exercício pede e o que temos disponível.
- Pede: obter uma expressão que relacione a frequência
da radiação eletromagnética emitida numa transição entre dois estados vizinhos de um átomo (ou seja, entre os níveis e ) com as frequências do movimento orbital do elétron nesses estados. - Informações implícitas que vamos usar (não foi pedido, mas é padrão para essa relação): a quantização de Bohr para níveis atômicos e a relação entre energia e frequência de fóton. Vamos considerar as frequências de revolução do elétron nos estados
e e chamá‑las de e . - O objetivo final é uma fórmula que dê
em função de e (ou equivalente).
Passo 2
Lembrando as fórmulas básicas (e o que cada símbolo significa), com explicações passo a passo.
- A energia do fóton emitido na transição
vem da diferença de energia entre os níveis:
onde
é a constante de Planck e
é a frequência da radiação (o que precisamos relacionar com as frequências orbitais do elétron).
-
Na visão de Bohr, o elétron descreve órbitas circulares quantizadas. Para o estado
valem: - quantização do momento angular:
, onde é a massa do elétron, é a velocidade orbital no nível , é o raio da órbita e ; - energia total do nível
: . (Explicação: em órbita ligada Coulombiana a energia potencial vale vezes a energia cinética, logo a energia total é , com .)
- quantização do momento angular:
-
A frequência de revolução (orbital) do elétron no nível
é a velocidade dividida pelo comprimento da órbita:
Explicando:
é o número de voltas por segundo; uma volta tem comprimento
, e a velocidade tangencial é
.
Passo 3
Expressar
em função de
.
- Partimos de
. Desse modo:
- Substituindo em
:
- Agora escrevemos a energia (módulo) usando
. Substituindo obtém‑se
- Queremos a relação entre
e . Compare as duas expressões: e . Eliminando entre elas (isolar por exemplo) obtemos:
Explicando a passagem: escrevendo
como
e lembrando que
, faz surgir um
que combinado com os fatores dá exatamente o fator
. Em palavras: o módulo da energia do nível
é proporcional a
vezes
vezes a frequência orbital
.
Passo 4
Usar a relação energia do fóton = diferença de energias e substituir em termos de
.
- A energia do fóton é
- Substituindo
e , obtemos
- Cancelando o
comum e simplificando:
Passo 5
Interpretação e comentário (como usar essa fórmula na prova).
- Fórmula final:
onde
e
são as frequências de revolução do elétron nos níveis
e
, respectivamente.
- Observação física útil (princípio da correspondência): para grandes
as frequências orbitais seguem ; ao passar para grande e transitar entre níveis vizinhos, a expressão acima tende a dar . Isso significa que para estados muito excitados a frequência da radiação aproximase da frequência orbital do elétron — um resultado clássico esperado pela correspondência Bohr‑Planck. - Dica prática para a prova: partir de
é um atalho elegante para ligar energia de nível com frequência orbital; a substituição direta na relação leva direto à resposta.