B) Obtenha uma expressão que relacione a frequência v da radiação eletromagnética emitida em uma transição entre estados vizinhos do átomo e as frequências do movimento orbital do elétron nestes estados.

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos disponível.
  • Pede: obter uma expressão que relacione a frequência v da radiação eletromagnética emitida numa transição entre dois estados vizinhos de um átomo (ou seja, entre os níveis n+1 e n) com as frequências do movimento orbital do elétron nesses estados.
  • Informações implícitas que vamos usar (não foi pedido, mas é padrão para essa relação): a quantização de Bohr para níveis atômicos e a relação entre energia e frequência de fóton. Vamos considerar as frequências de revolução do elétron nos estados n e n+1 e chamá‑las de f_n e f_{n+1}.
  • O objetivo final é uma fórmula que dê v em função de f_n e f_{n+1} (ou equivalente).

Passo 2

Lembrando as fórmulas básicas (e o que cada símbolo significa), com explicações passo a passo.
  • A energia do fóton emitido na transição (n+1)\to n vem da diferença de energia entre os níveis:
h\,v = E_{n+1}-E_{n},
onde h é a constante de Planck e v é a frequência da radiação (o que precisamos relacionar com as frequências orbitais do elétron).
  • Na visão de Bohr, o elétron descreve órbitas circulares quantizadas. Para o estado n valem:
    • quantização do momento angular: m v_{\text{orb},n} r_n = n\hbar, onde m é a massa do elétron, v_{\text{orb},n} é a velocidade orbital no nível n, r_n é o raio da órbita e \hbar=\dfrac{h}{2\pi};
    • energia total do nível n: E_n = -\dfrac{1}{2}m v_{\text{orb},n}^2. (Explicação: em órbita ligada Coulombiana a energia potencial vale -2 vezes a energia cinética, logo a energia total é -K, com K=\tfrac{1}{2}m v^2.)
  • A frequência de revolução (orbital) do elétron no nível n é a velocidade dividida pelo comprimento da órbita:
f_n = \frac{v_{\text{orb},n}}{2\pi r_n}.
Explicando: f_n é o número de voltas por segundo; uma volta tem comprimento 2\pi r_n, e a velocidade tangencial é v_{\text{orb},n}.

Passo 3

Expressar E_n em função de f_n.
  • Partimos de m v_{\text{orb},n} r_n = n\hbar. Desse modo:
v_{\text{orb},n} = \frac{n\hbar}{m r_n}.
  • Substituindo em f_n = \dfrac{v_{\text{orb},n}}{2\pi r_n}:
f_n = \frac{n\hbar}{2\pi m r_n^2}.
  • Agora escrevemos a energia (módulo) usando E_n = -\dfrac{1}{2} m v_{\text{orb},n}^2. Substituindo v_{\text{orb},n}=\dfrac{n\hbar}{m r_n} obtém‑se
E_n = -\frac{n^2\hbar^2}{2 m r_n^2}.
  • Queremos a relação entre E_n e f_n. Compare as duas expressões: f_n = \dfrac{n\hbar}{2\pi m r_n^2} e E_n = -\dfrac{n^2\hbar^2}{2 m r_n^2}. Eliminando r_n^2 entre elas (isolar 1/(m r_n^2) por exemplo) obtemos:
E_n = -\frac{n}{2}\,h\,f_n.
Explicando a passagem: escrevendo f_n como f_n=\dfrac{n\hbar}{2\pi m r_n^2} e lembrando que \hbar=\dfrac{h}{2\pi}, faz surgir um h que combinado com os fatores dá exatamente o fator -\dfrac{n}{2}h f_n. Em palavras: o módulo da energia do nível n é proporcional a n vezes h vezes a frequência orbital f_n.

Passo 4

Usar a relação energia do fóton = diferença de energias e substituir em termos de f_n.
  • A energia do fóton é
h\,v = E_{n+1}-E_n.
  • Substituindo E_n = -\dfrac{n}{2}h f_n e E_{n+1} = -\dfrac{n+1}{2}h f_{n+1}, obtemos
h\,v = -\frac{n+1}{2}h f_{n+1} -\Big(-\frac{n}{2}h f_n\Big).
  • Cancelando o h comum e simplificando:
v = \frac{1}{2}\bigl(n f_n - (n+1) f_{n+1}\bigr).

Passo 5

Interpretação e comentário (como usar essa fórmula na prova).
  • Fórmula final:
v = \frac{1}{2}\bigl(n f_n - (n+1) f_{n+1}\bigr),
onde f_n e f_{n+1} são as frequências de revolução do elétron nos níveis n e n+1, respectivamente.
  • Observação física útil (princípio da correspondência): para grandes n as frequências orbitais seguem f_n\propto 1/n^3; ao passar para n grande e transitar entre níveis vizinhos, a expressão acima tende a dar v\approx f_n. Isso significa que para estados muito excitados a frequência da radiação aproximase da frequência orbital do elétron — um resultado clássico esperado pela correspondência Bohr‑Planck.
  • Dica prática para a prova: partir de E_n=-\dfrac{n}{2}h f_n é um atalho elegante para ligar energia de nível com frequência orbital; a substituição direta na relação h v = E_{n+1}-E_n leva direto à resposta.

Resposta

v = \frac{1}{2}\bigl(n f_n - (n+1)\,f_{n+1}\bigr)

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