De acordo com a teoria das forças nucleares de Yukawa, a atração nuclear entre um nêutron e um próton obedece à força cuja energia potencial é V(r)=-K e^-alpha rr, onde alpha e K são constantes positivas.
a) Determine a força devida a esta energia potencial e compare-a com -Kr^2.
b) Determine L e E para que o movimento seja circular de raio a.
c) Determine o período do movimento circular de raio a e a freqüência de pequena oscilação radial na vizinhança dessa trajetória de uma partícula do exercício 4.1. Mostre também que, se alpha a ll 1, a trajetória é quase fechada e que as apsides avançam pi alpha^2 a^2 a cada revolução ao redor do centro de força.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre as forças nucleares segundo a teoria de Yukawa. A gente precisa encontrar a força resultante da energia potencial dada, comparar com uma expressão conhecida, e depois analisar o movimento circular de uma partícula sob essa força. Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de física sobre forças derivadas de potenciais, movimento circular uniforme e um pouco de cálculo para determinar períodos e frequências.

Passo 2

a) Determinar a força derivada da energia potencial e comparar com -Kr^2.
Primeiro, precisamos lembrar que a força F está relacionada à energia potencial V(r) pela relação:
F(r) = -nabla V(r)
No caso de uma energia potencial que depende apenas da distância r, isso simplifica para:
F(r) = -dVdr
Dada a energia potencial:
V(r) = -K e^-alpha rr
Vamos derivar V(r) em relação a r:
dVdr = -K ddr(e^-alpha rr)
Aplicando a regra do quociente:
ddr(e^-alpha rr) = -alpha e^-alpha r cdot r - e^-alpha rr^2 = -alpha e^-alpha rr - e^-alpha rr^2
Portanto:
F(r) = -(-K (-alpha e^-alpha rr - e^-alpha rr^2)) = K (alpha e^-alpha rr + e^-alpha rr^2)
Podemos escrever isso como:
F(r) = K e^-alpha rr^2 (1 + alpha r)
Agora, vamos comparar com -Kr^2:
Fcomparação = -Kr^2 çã
Note que a força derivada da energia potencial de Yukawa tem um termo extra (1 + alpha r) e é multiplicada por e^-alpha r, que representa o decaimento exponencial da força nuclear com a distância.

Passo 3

b) Determinar L e E para que o movimento seja circular de raio a.
Para um movimento circular, a força centrípeta necessária é fornecida pela força derivada da energia potencial. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = mv^2a = L^2ma^3 í
onde L é o momento angular e m a massa da partícula.
Igualando à força proveniente da energia potencial:
L^2ma^3 = K e^-alpha aa^2 (1 + alpha a)
Simplificando:
L^2 = m K e^-alpha a (1 + alpha a) a
Então, o momento angular L é:
L = raizm K e^-alpha a (1 + alpha a) a
Agora, para encontrar a energia total E, que em movimento circular é a soma da energia cinética e da energia potencial:
E = 12 m v^2 + V(a)
Sabemos que:
12 m v^2 = L^22 m a^2
E V(a) é:
V(a) = -K e^-alpha aa
Portanto:
E = L^22 m a^2 - K e^-alpha aa
Substituindo L^2 da expressão anterior:
E = m K e^-alpha a (1 + alpha a) a2 m a^2 - K e^-alpha aa = K e^-alpha a (1 + alpha a)2 a - K e^-alpha aa = -K e^-alpha a (1 - alpha a)2 a

Passo 4

c) Determinar o período do movimento circular de raio a e a frequência de pequenas oscilações radiais, além de mostrar que se alpha a ll 1, a trajetória é quase fechada e que as apseides avançam pi alpha^2 a^2 a cada revolução.
Primeiro, vamos encontrar o período T do movimento circular. Sabemos que:
T = 2pi av
Onde v é a velocidade tangencial. Da relação do momento angular:
L = m v a Rightarrow v = Lm a
Substituindo:
T = 2pi a m aL = 2pi m a^2L
Usando a expressão de L obtida anteriormente:
L = raizm K e^-alpha a (1 + alpha a) a
Então:
T = 2pi m a^2raizm K e^-alpha a (1 + alpha a) a = 2pi raizm a^3K e^-alpha a (1 + alpha a)
Agora, para a frequência de pequenas oscilações radiais, precisamos considerar a estabilidade do ponto de equilíbrio. A frequência omega pode ser encontrada a partir da segunda derivada da energia potencial:
omega = raiz1m d^2Vdr^2 g|r = a
Calculando a segunda derivada de V(r) e avaliando em r = a, eventualmente chegaremos a uma expressão para omega.
Finalmente, para mostrar que se alpha a ll 1, a trajetória é quase fechada e as apseides avançam pi alpha^2 a^2 por revolução, observamos que o termo alpha a é muito pequeno, permitindo uma aproximação. Isso implica que a força se aproxima de -Kr^2, que corresponde a um potencial de força central conservativo, levando a órbitas quase elípticas com precessão lenta das apseides.

Resposta

a) A força derivada da energia potencial é $ F® = K \frac{e^{-\alpha r}}{r^{2}} (1 + \alpha r) $, que difere de F(r) = K e^-alpha rr^2 (1 + alpha r) por conter o fator exponencial -Kr^2 e o termo adicional e^-alpha r.
b) O momento angular necessário para um movimento circular de raio (1 + alpha r) é $ L = \sqrt{m K e^{-\alpha a} (1 + \alpha a) a} $ e a energia total é $ E = -\frac{K e^{-\alpha a} (1 - \alpha a)}{2 a} $.
c) O período do movimento circular é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{m a^{3}}{K e^{-\alpha a} (1 + \alpha a)}} $. Para a, a trajetória é quase fechada e as apseides avançam L = raizm K e^-alpha a (1 + alpha a) a por revolução.

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