De acordo com a teoria das forças nucleares de Yukawa, a atração nuclear entre um nêutron e um próton obedece à força cuja energia potencial é , onde e são constantes positivas.
a) Determine a força devida a esta energia potencial e compare-a com .
b) Determine e para que o movimento seja circular de raio .
c) Determine o período do movimento circular de raio e a freqüência de pequena oscilação radial na vizinhança dessa trajetória de uma partícula do exercício 4.1. Mostre também que, se , a trajetória é quase fechada e que as apsides avançam a cada revolução ao redor do centro de força.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício sobre as forças nucleares segundo a teoria de Yukawa. A gente precisa encontrar a força resultante da energia potencial dada, comparar com uma expressão conhecida, e depois analisar o movimento circular de uma partícula sob essa força. Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de física sobre forças derivadas de potenciais, movimento circular uniforme e um pouco de cálculo para determinar períodos e frequências.
Passo 2
a) Determinar a força derivada da energia potencial e comparar com .
Primeiro, precisamos lembrar que a força está relacionada à energia potencial pela relação:
No caso de uma energia potencial que depende apenas da distância , isso simplifica para:
Dada a energia potencial:
Vamos derivar em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Portanto:
Podemos escrever isso como:
Agora, vamos comparar com :
Note que a força derivada da energia potencial de Yukawa tem um termo extra e é multiplicada por , que representa o decaimento exponencial da força nuclear com a distância.
Passo 3
b) Determinar e para que o movimento seja circular de raio .
Para um movimento circular, a força centrípeta necessária é fornecida pela força derivada da energia potencial. A força centrípeta é dada por:
onde é o momento angular e a massa da partícula.
Igualando à força proveniente da energia potencial:
Simplificando:
Então, o momento angular é:
Agora, para encontrar a energia total , que em movimento circular é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Sabemos que:
E é:
Portanto:
Substituindo da expressão anterior:
Passo 4
c) Determinar o período do movimento circular de raio e a frequência de pequenas oscilações radiais, além de mostrar que se , a trajetória é quase fechada e que as apseides avançam a cada revolução.
Primeiro, vamos encontrar o período do movimento circular. Sabemos que:
Onde é a velocidade tangencial. Da relação do momento angular:
Substituindo:
Usando a expressão de obtida anteriormente:
Então:
Agora, para a frequência de pequenas oscilações radiais, precisamos considerar a estabilidade do ponto de equilíbrio. A frequência pode ser encontrada a partir da segunda derivada da energia potencial:
Calculando a segunda derivada de V(r) e avaliando em r = a, eventualmente chegaremos a uma expressão para omega.
Finalmente, para mostrar que se alpha a ll 1, a trajetória é quase fechada e as apseides avançam pi alpha^2 a^2 por revolução, observamos que o termo alpha a é muito pequeno, permitindo uma aproximação. Isso implica que a força se aproxima de -Kr^2, que corresponde a um potencial de força central conservativo, levando a órbitas quase elípticas com precessão lenta das apseides.
Resposta
a) A força derivada da energia potencial é $ F® = K \frac{e^{-\alpha r}}{r^{2}} (1 + \alpha r) $, que difere de F(r) = K e^-alpha rr^2 (1 + alpha r) por conter o fator exponencial -Kr^2 e o termo adicional e^-alpha r.
b) O momento angular necessário para um movimento circular de raio (1 + alpha r) é $ L = \sqrt{m K e^{-\alpha a} (1 + \alpha a) a} $ e a energia total é $ E = -\frac{K e^{-\alpha a} (1 - \alpha a)}{2 a} $.
c) O período do movimento circular é $ T = 2\pi \sqrt{\frac{m a^{3}}{K e^{-\alpha a} (1 + \alpha a)}} $. Para a, a trajetória é quase fechada e as apseides avançam L = raizm K e^-alpha a (1 + alpha a) a por revolução.