Prove que uma outra forma da equação diferencial da trajetória pode ser escrita como
(d ud theta)^2+u^2=2 mL^2[E-V(1u)]
onde E e V(r) são, respectivamente, a energia mecânica total e potencial da partícula, L é o seu momento angular e, finalmente, u=1r.

Passo 1

Beleza, vamos provar que a equação da trajetória numa força central pode ser colocada na forma
l(dudthetar)^2 + u^2 ;=;2mL^2l[E - V(1/u)r],
onde , é a energia total, é o potencial, e o momento angular.
Para isso a gente vai usar duas coisas básicas da mecânica:
  1. conservação de energia: ,
  2. conservação de momento angular: .
    Além disso, vamos usar a mudança de variável e a regra da cadeia para ligar derivada em com derivada em .

Passo 2

Escreve a energia cinética em coordenadas polares e isola E = m2l(dot r^2 + r^2dottheta^2r) + V(r), L = m,r^2dottheta ;Longrightarrow; dottheta = Lm,r^2 .

Passo 3

Agora troca dot r = drdt = drdtheta,dthetadt = drdtheta,dottheta = drdtheta,Lm,r^2 por derivada em dot r^2 = l(drdthetar)^2,L^2m^2r^4 . Pela regra da cadeia:
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Passo 4

Substitui E = m2l(L^2m^2r^4l(tfracdrdthetar)^2 + r^2,L^2m^2r^4r) + V(r) = L^22m,r^4l[l(tfracdrdthetar)^2 + r^2r] + V(r) e na equação de energia:

Passo 5

Passa o termo com l(tfracdrdthetar)^2 + r^2 = 2m,r^4L^2l[E - V(r)r] para o lado esquerdo e multiplica por l(tfracdrdthetar)^2r^4 + r^2r^4 = 2mL^2l[E - V(r)r] :
Agora divide ambos os lados por :

Passo 6

Faz a troca drdtheta = -1u^2dudtheta, . Note que
l(tfracdrdthetar)^2r^4 = l(-tfrac1u^2tfracdudthetar)^2(1/u)^4 = tfrac1u^4l(tfracdudthetar)^2tfrac1u^4 = l(dudthetar)^2,
então
r^2r^4 = 1/u^21/u^4 = u^2
e
l(tfracdudthetar)^2 + u^2 = 2mL^2l[E - V(1/u)r]
Também . Substituindo tudo fica exatamente

Resposta

boxedl(dudthetar)^2 ;+; u^2 ;=;2mL^2l[E - V(1/u)r]

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