Prove que uma outra forma da equação diferencial da trajetória pode ser escrita como
onde
e
são, respectivamente, a energia mecânica total e potencial da partícula,
é o seu momento angular e, finalmente,
.
Passo 1
Beleza, vamos provar que a equação da trajetória numa força central pode ser colocada na forma
onde
,
é a energia total,
é o potencial, e
o momento angular.
Para isso a gente vai usar duas coisas básicas da mecânica:
Para isso a gente vai usar duas coisas básicas da mecânica:
- conservação de energia:
, - conservação de momento angular:
.
Além disso, vamos usar a mudança de variávele a regra da cadeia para ligar derivada em com derivada em .
Passo 2
Escreve a energia cinética em coordenadas polares e isola
.
Passo 3
Agora troca
por derivada em
. Pela regra da cadeia:
Logo
Passo 4
Substitui
e
na equação de energia:
Passo 5
Passa o termo com
para o lado esquerdo e multiplica por
:
Agora divide ambos os lados por
:
Passo 6
Faz a troca
. Note que
então
e
Também
. Substituindo tudo fica exatamente