4.2. De acordo com uma teoria genética, se plantas coloridas e altas são cruzadas com plantas sem cor e baixas, quatro tipos de plantas surgirão: altas e coloridas, altas e sem cor, baixas e coloridas e baixas e sem cor, com as probabilidades correspondentes de 916, 316, 316 e 116. Se 10 plantas forem escolhidas, encontre a probabilidade de que cinco sejam altas e coloridas, duas sejam altas e sem cor, duas sejam baixas e coloridas e uma seja baixa e sem cor.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cruzamento de plantas que pode resultar em quatro tipos diferentes:
  1. Altas e coloridas com probabilidade 916.
  2. Altas e sem cor com probabilidade 316.
  3. Baixas e coloridas com probabilidade 316.
  4. Baixas e sem cor com probabilidade 116.
A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, ao escolher 10 plantas, exatamente:
  • 5 sejam altas e coloridas,
  • 2 sejam altas e sem cor,
  • 2 sejam baixas e coloridas, e
  • 1 seja baixa e sem cor.
Vamos precisar usar a probabilidade multinomial, que é uma extensão da probabilidade binomial para mais de dois resultados possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a probabilidade multinomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de obter várias combinações específicas de resultados em um experimento com múltiplas categorias.
A fórmula geral da probabilidade multinomial é:
P = n!k1! , k2! , dots , km! times p1^k1 times p2^k2 times dots times pm^km
Onde:
  • $ n $ é o número total de experimentos (neste caso, 10 plantas).
  • $ k_1, k_2, \dots, k_m $ são os números de ocorrências de cada categoria.
  • $ p_1, p_2, \dots, p_m $ são as probabilidades de cada categoria.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores para a nossa situação:
  • $ n = 10 $ plantas.
  • As categorias e suas probabilidades são:
    • Alta e colorida: $ p_1 = \frac{9}{16} $
    • Alta e sem cor: $ p_2 = \frac{3}{16} $
    • Baixa e colorida: $ p_3 = \frac{3}{16} $
    • Baixa e sem cor: $ p_4 = \frac{1}{16} $
  • As quantidades desejadas são:
    • $ k_1 = 5 $ (altas e coloridas)
    • $ k_2 = 2 $ (altas e sem cor)
    • $ k_3 = 2 $ (baixas e coloridas)
    • $ k_4 = 1 $ (baixas e sem cor)

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da probabilidade multinomial:
P = 10!5! , 2! , 2! , 1! times (916)^5 times (316)^2 times (316)^2 times (116)^1

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte da expressão:
  1. Fatorial:
    • $ 10! = 3,628,800 $
    • $ 5! = 120 $
    • $ 2! = 2 $
    • $ 1! = 1 $
    Então,
    10! = 3,628,800
  2. Probabilidades elevadas às potências:
    • $ \left(\frac{9}{16}\right)^5 \approx 0,0285 $
    • $ \left(\frac{3}{16}\right)^2 \approx 0,0352 $
    • $ \left(\frac{3}{16}\right)^2 \approx 0,0352 $
    • $ \left(\frac{1}{16}\right)^1 = 0,0625 $
  3. Multiplicando as probabilidades:
    5! = 120
  4. Multiplicando pelo coeficiente:
    2! = 2

Resposta

A probabilidade de que, ao escolher 10 plantas, exatamente 5 sejam altas e coloridas, 2 sejam altas e sem cor, 2 sejam baixas e coloridas, e 1 seja baixa e sem cor é aproximadamente 0,0174 ou 1,74%.

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