4.2. De acordo com uma teoria genética, se plantas coloridas e altas são cruzadas com plantas sem cor e baixas, quatro tipos de plantas surgirão: altas e coloridas, altas e sem cor, baixas e coloridas e baixas e sem cor, com as probabilidades correspondentes de
e
. Se 10 plantas forem escolhidas, encontre a probabilidade de que cinco sejam altas e coloridas, duas sejam altas e sem cor, duas sejam baixas e coloridas e uma seja baixa e sem cor.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cruzamento de plantas que pode resultar em quatro tipos diferentes:
- Altas e coloridas com probabilidade
. - Altas e sem cor com probabilidade
. - Baixas e coloridas com probabilidade
. - Baixas e sem cor com probabilidade
.
A pergunta quer saber qual é a probabilidade de, ao escolher 10 plantas, exatamente:
- 5 sejam altas e coloridas,
- 2 sejam altas e sem cor,
- 2 sejam baixas e coloridas, e
- 1 seja baixa e sem cor.
Vamos precisar usar a probabilidade multinomial, que é uma extensão da probabilidade binomial para mais de dois resultados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a probabilidade multinomial. Ela nos ajuda a calcular a chance de obter várias combinações específicas de resultados em um experimento com múltiplas categorias.
A fórmula geral da probabilidade multinomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de experimentos (neste caso, 10 plantas).
- $ k_1, k_2, \dots, k_m $ são os números de ocorrências de cada categoria.
- $ p_1, p_2, \dots, p_m $ são as probabilidades de cada categoria.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores para a nossa situação:
- $ n = 10 $ plantas.
- As categorias e suas probabilidades são:
- Alta e colorida: $ p_1 = \frac{9}{16} $
- Alta e sem cor: $ p_2 = \frac{3}{16} $
- Baixa e colorida: $ p_3 = \frac{3}{16} $
- Baixa e sem cor: $ p_4 = \frac{1}{16} $
- As quantidades desejadas são:
- $ k_1 = 5 $ (altas e coloridas)
- $ k_2 = 2 $ (altas e sem cor)
- $ k_3 = 2 $ (baixas e coloridas)
- $ k_4 = 1 $ (baixas e sem cor)
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da probabilidade multinomial:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte da expressão:
-
Fatorial:
- $ 10! = 3,628,800 $
- $ 5! = 120 $
- $ 2! = 2 $
- $ 1! = 1 $
Então, -
Probabilidades elevadas às potências:
- $ \left(\frac{9}{16}\right)^5 \approx 0,0285 $
- $ \left(\frac{3}{16}\right)^2 \approx 0,0352 $
- $ \left(\frac{3}{16}\right)^2 \approx 0,0352 $
- $ \left(\frac{1}{16}\right)^1 = 0,0625 $
-
Multiplicando as probabilidades:
-
Multiplicando pelo coeficiente:
Resposta
A probabilidade de que, ao escolher 10 plantas, exatamente 5 sejam altas e coloridas, 2 sejam altas e sem cor, 2 sejam baixas e coloridas, e 1 seja baixa e sem cor é aproximadamente 0,0174 ou 1,74%.