Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro
tal que, para qualquer intervalo de tempo curto
, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
é
[que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante
é
].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese
diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que
é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos
a probabilidade de
eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração
. Nesse, caso,
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo
seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro
. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será
, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será
. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro
especifica a taxa do processo.
2.2. c) Verifique se
satisfaz à equação do item (b). Podese demonstrar de forma similar aos itens (a) e (b) que as
devem satisfazer ao sistema de equações diferenciais
Verifique se
satisfaz o sistema (na verdade, essa é a única solução).
i. Existe um parâmetro
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo
Informalmente, a Hipótese
2.2. c) Verifique se
Passo 1
Então, galera! A gente está lidando com distribuições de Poisson, que é super útil pra modelar eventos que acontecem ao longo do tempo, como visitas a um site ou acidentes numa fábrica. No exercício, a gente precisa verificar se uma certa fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um tempo
, que é
, realmente satisfaz uma equação diferencial específica. Ou seja, vamos checar se essa expressão se encaixa direitinho na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que precisamos verificar. A equação diferencial é:
Isso significa que a taxa de variação da probabilidade de ter
eventos em relação ao tempo é igual a
vezes a probabilidade de ter
eventos menos
vezes a probabilidade de ter
eventos. Nosso objetivo é ver se a expressão para
realmente cumpre essa relação.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
. A expressão é:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de
fica:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:
Note que
, então podemos reescrever a primeira fração:
E a segunda fração fica:
Portanto, temos:
Resposta
Então, mostramos que a derivada de
realmente é igual a
. Portanto, a expressão
satisfaz o sistema de equações diferenciais dado. Tá tudo certinho!