Uma aplicação importante da distribuição de Poisson surge juntamente com a ocorrência de eventos de um tipo particular no decorrer do tempo. Eventos de interesse podem incluir visitas a determinado site, pulsos registrados por um contador, mensagens de e-mail enviadas para determinado endereço, acidentes em uma fábrica ou chuva de raios cósmicos observada por astrônomos em determinado observatório. Façamos as seguintes hipóteses sobre a maneira como os eventos de interesse ocorrem:
i. Existe um parâmetro alpha>0 tal que, para qualquer intervalo de tempo curto De, a probabilidade de ocorrer exatamente um evento é alpha De o(De
ii. A probabilidade de ocorrer mais de um evento durante De é o(De [que, juntamente com a Hipótese i, implica que a probabilidade de não ocorrer eventos durante De é 1-alpha De].
iii. O número de eventos ocorrendo durante o intervalo de tempo De é independente do número ocorrido antes desse intervalo de tempo.
Informalmente, a Hipótese i diz que, para um intervalo de tempo curto, a probabilidade de ocorrer um único evento é aproximadamente proporcional à duração do intervalo de tempo, em que alpha é a constante de proporcionalidade. Agora, consideremos Pk(t) a probabilidade de k eventos serem observados durante qualquer intervalo de tempo de duração t. Nesse, caso,
Pk(t)=e^-alpha t(alpha t)^kk!
de modo que o número de eventos durante um intervalo de tempo t seja uma variável aleatória de Poisson com parâmetro mu=alpha t. O número esperado de eventos durante qualquer um de tais intervalos de tempo será alpha t, de forma que o número esperado durante uma unidade de intervalo de tempo será alpha. A ocorrência de eventos com o passar do tempo conforme essa descrição é chamada processo de Poisson; o parâmetro alpha especifica a taxa do processo.
2.2. c) Verifique se P0(t)=e^-alpha t satisfaz à equação do item (b). Podese demonstrar de forma similar aos itens (a) e (b) que as Pk(t) devem satisfazer ao sistema de equações diferenciais
dd t Pk(t)=alpha Pk-1(t)-alpha Pk(t), k=1,2,3, ldots
Verifique se Pk(t)=e^-alpha t(alpha t)^kk! satisfaz o sistema (na verdade, essa é a única solução).

Passo 1

Então, galera! A gente está lidando com distribuições de Poisson, que é super útil pra modelar eventos que acontecem ao longo do tempo, como visitas a um site ou acidentes numa fábrica. No exercício, a gente precisa verificar se uma certa fórmula para a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um tempo t, que é Pk(t) = e^-alpha t(alpha t)^kk!, realmente satisfaz uma equação diferencial específica. Ou seja, vamos checar se essa expressão se encaixa direitinho na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que precisamos verificar. A equação diferencial é:
ddt Pk(t) = alpha Pk-1(t) - alpha Pk(t)
Isso significa que a taxa de variação da probabilidade de ter k eventos em relação ao tempo é igual a alpha vezes a probabilidade de ter k-1 eventos menos alpha vezes a probabilidade de ter k eventos. Nosso objetivo é ver se a expressão para Pk(t) realmente cumpre essa relação.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de Pk(t) em relação a t. A expressão é:
Pk(t) = e^-alpha t(alpha t)^kk!
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de Pk(t) fica:
ddt Pk(t) = ddt ( e^-alpha t cdot (alpha t)^kk! )
Aplicando a regra do produto:
ddt Pk(t) = e^-alpha t cdot ddt ( (alpha t)^kk! ) + (alpha t)^kk! cdot ddt ( e^-alpha t )
Calculando as derivadas:
  1. Derivada de (alpha t)^k em relação a t:
ddt (alpha t)^k = k cdot alpha (alpha t)^k-1
  1. Derivada de e^-alpha t em relação a t:
ddt e^-alpha t = -alpha e^-alpha t
Substituindo de volta na expressão:
ddt Pk(t) = e^-alpha t cdot k cdot alpha (alpha t)^k-1k! - (alpha t)^kk! cdot alpha e^-alpha t
Simplificando:
ddt Pk(t) = alpha k e^-alpha t (alpha t)^k-1k! - alpha e^-alpha t (alpha t)^kk!
Note que k! = k cdot (k-1)!, então podemos reescrever a primeira fração:
alpha k e^-alpha t (alpha t)^k-1k! = alpha e^-alpha t (alpha t)^k-1(k-1)! = alpha Pk-1(t)
E a segunda fração fica:
alpha e^-alpha t (alpha t)^kk! = alpha Pk(t)
Portanto, temos:
ddt Pk(t) = alpha Pk-1(t) - alpha Pk(t)

Resposta

Então, mostramos que a derivada de Pk(t) realmente é igual a alpha Pk-1(t) - alpha Pk(t). Portanto, a expressão Pk(t) = e^-alpha t(alpha t)^kk! satisfaz o sistema de equações diferenciais dado. Tá tudo certinho!

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