Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre filas usando a distribuição de Poisson. O enunciado fala sobre um caixa de supermercado que consegue atender 4 clientes por minuto. A questão quer saber qual é a probabilidade de mais de quatro clientes chegarem nesse caixa no primeiro minuto. Vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson para calcular essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, por minuto).
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais (≈2.71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
No nosso caso, a taxa média $ \lambda $ é igual a 4 clientes por minuto, já que o caixa atende 4 clientes por minuto. Queremos saber a probabilidade de mais de 4 clientes chegarem, ou seja, $ P(X > 4) $.
Passo 4
Para encontrar $ P(X > 4) $, podemos calcular 1 menos a probabilidade de 4 ou menos clientes chegarem. Então:
Passo 5
Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de 0, 1, 2, 3 e 4 clientes chegarem:
Usando a fórmula de Poisson:
Passo 6
Vamos calcular cada termo:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 7
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Passo 8
Finalmente, calculamos $ P(X > 4) $:
Resposta
A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto é de aproximadamente 37,2%.