Queuing significa esperar em fila para ser servido. Há muitos exemplos de queuing na vida cotidiana: esperar em um semáforo, esperar na fila para passar no caixa de um supermercado, esperar um elevador, esperar um telefonema e assim por diante. As distribuições de Poisson são utilizadas para modelar e prever o número de pessoas (ligações, programas de computador, veículos) que chegarão à fila. Nos exercícios a seguir, você deverá utilizar distribuições de Poisson para analisar os queues no caixa de um supermercado.
Nos exercícios de 3.1 a 3.7 , considere um supermercado que pode processar um total de quatro clientes em seu caixa por minuto.
b) Qual é a probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre filas usando a distribuição de Poisson. O enunciado fala sobre um caixa de supermercado que consegue atender 4 clientes por minuto. A questão quer saber qual é a probabilidade de mais de quatro clientes chegarem nesse caixa no primeiro minuto. Vamos precisar entender como funciona a distribuição de Poisson para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, por minuto).
  • $ e $ é a base dos logaritmos naturais (≈2.71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

No nosso caso, a taxa média $ \lambda $ é igual a 4 clientes por minuto, já que o caixa atende 4 clientes por minuto. Queremos saber a probabilidade de mais de 4 clientes chegarem, ou seja, $ P(X > 4) $.

Passo 4

Para encontrar $ P(X > 4) $, podemos calcular 1 menos a probabilidade de 4 ou menos clientes chegarem. Então:
P(X > 4)

Passo 5

Vamos calcular $ P(X \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de 0, 1, 2, 3 e 4 clientes chegarem:
P(X <= 4)
Usando a fórmula de Poisson:
P(X <= 4) = P(0; 4) + P(1; 4) + P(2; 4) + P(3; 4) + P(4; 4)

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  • Para $ k = 0 $:
k = 0
  • Para $ k = 1 $:
P(0; 4) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4 approx 0.0183
  • Para $ k = 2 $:
k = 1
  • Para $ k = 3 $:
P(1; 4) = e^-4 cdot 4^11! = 4e^-4 approx 0.0733
  • Para $ k = 4 $:
k = 2

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(X <= 4) approx 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1954 + 0.1954 = 0.628

Passo 8

Finalmente, calculamos $ P(X > 4) $:
P(X > 4)

Resposta

A probabilidade de que mais de quatro clientes cheguem durante o primeiro minuto é de aproximadamente 37,2%.

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