De acordo com a 2^{\text {a }} Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra ( \rho ) como:
\rho=\frac{1}{A h} m,
onde A é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa ( m ) e a para a quantidade submersa ( h ) do corpo cilíndrico (copo),
(h \pm \delta h) \mathrm{cm} 2,5 \pm 0,1 3,5 \pm 0,1 4,5 \pm 0,1
(m \pm \delta m) \mathrm{g} 105,0 \pm 1,1 145,0 \pm 1,5 190,0 \pm 1,9
Considerando que o diâmetro da base do copo seja D=(7,30 \pm 0,05) \mathrm{cm}, FAÇA:
Encontre, utilizando o método dos mínimos quadrados, os valores para os coeficientes angular (a) e linear (b) da reta que melhor se ajuste ao conjunto de dados da tabela acima, bem como seus respectivos erros, ESCREVENDO-OS NA FORMA PADRÃO.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados experimentais (peguei da tabela do enunciado):
    • h_1=(2{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}, m_1=(105{,}0\pm1{,}1)\\ \mathrm{g}.
    • h_2=(3{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}, m_2=(145{,}0\pm1{,}5)\\ \mathrm{g}.
    • h_3=(4{,}5\pm0{,}1)\\ \mathrm{cm}, m_3=(190{,}0\pm1{,}9)\\ \mathrm{g}.
  • Diâmetro da base: D=(7{,}30\pm0{,}05)\\ \mathrm{cm}. (Isto serve se precisarmos relacionar coeficiente angular com a densidade; por enquanto vamos ajustar a reta.)
  • O enunciado pede: usando o método dos mínimos quadrados, encontrar os coeficientes angular a e linear b da reta que melhor ajusta os dados (h,m), e os erros (incertezas) de a e b, escritos na forma padrão.

Passo 2

Escolha do modelo e do método (explicação didática e decisão prática).
  • Modelo escolhido: reta entre m (variável dependente) e h (variável independente): m = a\,h + b.Racional: teoricamente m=\rho A h (reta passando pela origem), mas em experimento pode haver offset sistemático; ajustar a e b permite capturar esse efeito.
  • Método: mínimos quadrados ponderados (weighted least squares), ponderando por 1/\sigma_{m_i}^2 porque as incertezas medidas são nas massas m_i (tratamos as incertezas em h como pequenas o suficiente para não complicar o ajuste; isso é uma hipótese comum e prática quando se pede ajuste direto de m em função de h).
  • Notação e fórmulas principais (vou explicar cada termo):
    • Para cada ponto i definimos peso w_i = 1/\sigma_{m_i}^2, onde \sigma_{m_i} é a incerteza de m_i.
    • Definem-se as somas ponderadas: W=\sum_{i} w_i,\quad S_{h}=\sum_{i} w_i h_i,\quad S_{m}=\sum_{i} w_i m_i,
S_{hh}=\sum_{i} w_i h_i^2,\quad S_{hm}=\sum_{i} w_i h_i m_i.
  • Os coeficientes da reta por mínimos quadrados ponderados são dados por: a=\frac{S_{hm}-\dfrac{S_{h}S_{m}}{W}}{S_{hh}-\dfrac{S_{h}^2}{W}}.Uma forma mais compacta usa S_{xx} = S_{hh}-S_h^2/W e S_{xy}=S_{hm}-S_h S_m/W, então a=S_{xy}/S_{xx} e b=\bar m - a\,\bar h, onde \bar h=S_h/W e \bar m=S_m/W.
  • As variâncias (erros ao quadrado) dos parâmetros (para pesos w_i=1/\sigma_{m_i}^2) são: \mathrm{Var}(a)=\frac{1}{S_{xx}},\qquad \mathrm{Var}(b)=\frac{1}{W}+\frac{\bar h^{2}}{S_{xx}}.As incertezas são \sigma_a=\sqrt{\mathrm{Var}(a)} e \sigma_b=\sqrt{\mathrm{Var}(b)}.
  • Agora vou calcular todas essas somas passo a passo com os dados.

Passo 3

Calcular os pesos w_i e as somas necessárias.
  • Pesos w_i = 1/\sigma_{m_i}^2: w_1=\frac{1}{(1{,}1)^2}=\frac{1}{1{,}21}=0{,}826446281,
w_2=\frac{1}{(1{,}5)^2}=\frac{1}{2{,}25}=0{,}444444444,
w_3=\frac{1}{(1{,}9)^2}=\frac{1}{3{,}61}=0{,}277008310.
  • Somas ponderadas (vou mostrar cada termo numérico): W=\sum_i w_i=0{,}826446281+0{,}444444444+0{,}277008310=1{,}547899036.
S_h=\sum_i w_i h_i=(0{,}826446281)(2{,}5)+(0{,}444444444)(3{,}5)+(0{,}277008310)(4{,}5)=4{,}868208654.
S_m=\sum_i w_i m_i=(0{,}826446281)(105{,}0)+(0{,}444444444)(145{,}0)+(0{,}277008310)(190{,}0)=203{,}852882887.
S_{hh}=\sum_i w_i h_i^2=(0{,}826446281)(2{,}5^2)+(0{,}444444444)(3{,}5^2)+(0{,}277008310)(4{,}5^2)=16{,}219151982.
S_{hm}=\sum_i w_i h_i m_i=(0{,}826446281)(2{,}5\cdot105{,}0)+(0{,}444444444)(3{,}5\cdot145{,}0)+(0{,}277008310)(4{,}5\cdot190{,}0)=679{,}339809538.
  • Médias ponderadas: \bar h=\frac{S_h}{W}=\frac{4{,}868208654}{1{,}547899036}=3{,}14516129\\ \mathrm{cm},
\bar m=\frac{S_m}{W}=\frac{203{,}852882887}{1{,}547899036}=131{,}696499\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Calcular S_{xx}, S_{xy}, inclinação a e intercepto b.
  • Definições: S_{xx}=S_{hh}-\frac{S_h^2}{W},\qquad S_{xy}=S_{hm}-\frac{S_h S_m}{W}.
  • Cálculos numéricos: S_{xx}=16{,}219151982-\frac{(4{,}868208654)^2}{1{,}547899036}=0{,}903118982.
S_{xy}=679{,}339809538-\frac{4{,}868208654\cdot203{,}852882887}{1{,}547899036}=38{,}213809538.
  • Inclinação e intercepto: a=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{38{,}213809538}{0{,}903118982}=42{,}3128\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}.
b=\bar m - a\,\bar h=131{,}696499-(42{,}3128)(3{,}14516129)=-1{,}3845\\ \mathrm{g}.
(Explicação curta: a diz quantos gramas aumentam na massa por cada centímetro adicional de parte submersa; b é o offset experimental.)

Passo 5

Calcular as incertezas (erros) de a e b e explicar significado.
  • Fórmulas (repetindo para clareza): \mathrm{Var}(a)=\frac{1}{S_{xx}},\qquad \mathrm{Var}(b)=\frac{1}{W}+\frac{\bar h^{2}}{S_{xx}}.As incertezas são \sigma_a=\sqrt{\mathrm{Var}(a)} e \sigma_b=\sqrt{\mathrm{Var}(b)}.
  • Cálculo numérico: \mathrm{Var}(a)=\frac{1}{0{,}903118982}=1{,}107476,\qquad \sigma_a=\sqrt{1{,}107476}=1{,}0528\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}}.
\mathrm{Var}(b)=\frac{1}{1{,}547899036}+\frac{(3{,}14516129)^2}{0{,}903118982}=0{,}6460039+10{,}951921=11{,}597925,
\sigma_b=\sqrt{11{,}597925}=3{,}4053\\ \mathrm{g}.
  • Interpretação curta: \sigma_a é a incerteza na inclinação (g/cm), \sigma_b é a incerteza no intercepto (g). Esses valores vêm diretamente dos pesos usados (incertezas nas massas).

Passo 6

Arredondamento e apresentação na forma padrão (regras práticas).
  • Convenção prática: a incerteza é apresentada com duas cifras significativas (quando necessário) e o valor central arredondado à mesma ordem.
    • Para a: \sigma_a=1{,}0528 -> manter duas cifras -> 1{,}05. Então a=42{,}31 (arredondado para centésimos compatível com a incerteza).
    • Para b: \sigma_b=3{,}4053 -> manter duas cifras -> 3{,}41. Então b=-1{,}38 (arredondado para centésimos compatível com a incerteza).
  • Assim, na forma padrão (valor \pm incerteza): a=(42{,}31\pm1{,}05)\\ \mathrm{g/cm},\qquad b=(-1{,}38\pm3{,}41)\\ \mathrm{g}.

Resposta

a=(42{,}31\pm1{,}05)\\ \mathrm{g/cm}
b=(-1{,}38\pm3{,}41)\\ \mathrm{g}

Exercícios relacionados