De acordo com a
Lei de Newton e o Princípio de Archimedes, podemos, no estado de equilíbrio, relacionar o comprimento da parte submersa de um objeto (h) com sua massa (m) e a densidade do líquido no qual se encontra (
) como:
onde
é a área da base do objeto (considere um corpo cilíndrico).
Suponha que no EXPERIMENTO SOBRE DENSIMETRIA tenha-se obtido os seguintes dados experimentais para a massa (
) e a para a quantidade submersa (
) do corpo cilíndrico (copo),
Considerando que o diâmetro da base do copo seja
, FAÇA:
Encontre, utilizando o método dos mínimos quadrados, os valores para os coeficientes angular (a) e linear (b) da reta que melhor se ajuste ao conjunto de dados da tabela acima, bem como seus respectivos erros, ESCREVENDO-OS NA FORMA PADRÃO.
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Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados experimentais (peguei da tabela do enunciado):
-
, . -
, . -
, .
-
- Diâmetro da base:
. (Isto serve se precisarmos relacionar coeficiente angular com a densidade; por enquanto vamos ajustar a reta.) - O enunciado pede: usando o método dos mínimos quadrados, encontrar os coeficientes angular
e linear da reta que melhor ajusta os dados , e os erros (incertezas) de e , escritos na forma padrão.
Passo 2
Escolha do modelo e do método (explicação didática e decisão prática).
- Modelo escolhido: reta entre
(variável dependente) e (variável independente): Racional: teoricamente (reta passando pela origem), mas em experimento pode haver offset sistemático; ajustar e permite capturar esse efeito. - Método: mínimos quadrados ponderados (weighted least squares), ponderando por
porque as incertezas medidas são nas massas (tratamos as incertezas em como pequenas o suficiente para não complicar o ajuste; isso é uma hipótese comum e prática quando se pede ajuste direto de em função de ). - Notação e fórmulas principais (vou explicar cada termo):
- Para cada ponto
definimos peso , onde é a incerteza de . - Definem-se as somas ponderadas:
- Para cada ponto
- Os coeficientes da reta por mínimos quadrados ponderados são dados por:
Uma forma mais compacta usa e , então e , onde e . - As variâncias (erros ao quadrado) dos parâmetros (para pesos
) são: As incertezas são e . - Agora vou calcular todas essas somas passo a passo com os dados.
Passo 3
Calcular os pesos
e as somas necessárias.
- Pesos
:
- Somas ponderadas (vou mostrar cada termo numérico):
- Médias ponderadas:
Passo 4
Calcular
,
, inclinação
e intercepto
.
- Definições:
- Cálculos numéricos:
- Inclinação e intercepto:
(Explicação curta:
diz quantos gramas aumentam na massa por cada centímetro adicional de parte submersa;
é o offset experimental.)
Passo 5
Calcular as incertezas (erros) de
e
e explicar significado.
- Fórmulas (repetindo para clareza):
As incertezas são e . - Cálculo numérico:
- Interpretação curta:
é a incerteza na inclinação (g/cm), é a incerteza no intercepto (g). Esses valores vêm diretamente dos pesos usados (incertezas nas massas).
Passo 6
Arredondamento e apresentação na forma padrão (regras práticas).
- Convenção prática: a incerteza é apresentada com duas cifras significativas (quando necessário) e o valor central arredondado à mesma ordem.
- Para
: -> manter duas cifras -> . Então (arredondado para centésimos compatível com a incerteza). - Para
: -> manter duas cifras -> . Então (arredondado para centésimos compatível com a incerteza).
- Para
- Assim, na forma padrão (valor
incerteza):