4- A capacitor is formed by two concentric cylindrical surfaces. The inner surface has a radius a and the outer one has a radius b, both having a height L. (a) Determine the capacitance of this system { }^{(1.3 \text { point })}. (b) Now, a dielectric with electrical permittivity \varepsilon is inserted between the cylinders. Obtain, as in item (a), the new capacitance of this system { }^{(0.5} points) . (c) Physically explain why there is a difference between the capacitances in item (a) and item (b) { }^{(0.7 \text { points })}. Always assume that the electric field is constant. (Total: 2.5 points)

Passo 1

O enunciado dá um capacitor formado por duas superfícies cilíndricas concêntricas: o cilindro interno tem raio a, o externo tem raio b e ambas têm altura L. São pedidas três coisas:
  • (a) determinar a capacitância do sistema sem dielétrico;
  • (b) determinar a nova capacitância quando se insere um dielétrico de permissividade elétrica \varepsilon entre os cilindros;
  • (c) explicar fisicamente por que as capacitâncias de (a) e (b) são diferentes.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio interno: a.
  • Raio externo: b.
  • Altura (comprimento dos cilindros): L.
  • Em (b): material dielétrico com permissividade \varepsilon preenche o espaço entre a e b.
  • Pressupostos (implícitos no problema que vamos usar): regime eletrostático, simetria cilíndrica (campo radial, independente de \theta e z), e as grandezas a,b,L,\varepsilon são tais que o modelo macroscópico de capacitor vale.

Passo 2

Definição de capacitância e estratégia geral.
  • A capacitância C de um capacitor é definida como a razão entre a carga Q armazenada em um dos condutores e a diferença de potencial \Delta V entre os condutores:
C=\frac{Q}{\Delta V}.
Aqui Q é a carga no cilindro interno (a do cilindro externo é -Q) e \Delta V é o potencial do cilindro interno menos o potencial do externo.
  • Estratégia: primeiro encontrar o campo elétrico \mathbf{E} no espaço entre a e b usando a simetria e a Lei de Gauss; depois calcular \Delta V integrando \mathbf{E} de a a b; por fim usar C=Q/\Delta V. Vou explicar cada fórmula usada e o significado de cada variável.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para obter o campo \mathbf{E}(r).
  • Considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r, com a<r<b, e comprimento L. A área lateral dessa superfície é A_{\text{lat}}=2\pi r L.
  • A Lei de Gauss em forma integral diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
no caso sem dielétrico, onde Q_{\text{int}} é a carga total envolvida e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo. Pela simetria cilíndrica o campo é radial e mesmo em módulo em toda a superfície lateral, então o fluxo é E(r)\cdot 2\pi r L.
  • A carga por unidade de comprimento é \lambda=\dfrac{Q}{L}. Assim Q_{\text{int}}=\lambda L=Q.
  • Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\cdot\frac{1}{r}.
Explicação: E(r) é a intensidade do campo elétrico a uma distância radial r do eixo; ele decai como 1/r por causa da geometria cilíndrica (linhas de campo se espalham ao aumentar o raio).

Passo 4

Calcular a diferença de potencial \Delta V entre os cilindros integrando o campo.
  • A diferença de potencial entre dois pontos é \Delta V=V(a)-V(b)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}. Aqui \mathbf{E} é radial e o deslocamento radial é dr no sentido \hat r, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}=E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\dfrac{1}{r} e integrando:
\Delta V = -\int_{a}^{b} E(r)\,dr = -\int_{a}^{b} \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\frac{1}{r}\,dr.
  • Avaliando a integral (note que o sinal negativo garante que V(a)>V(b) quando Q>0; abaixo consideramos o módulo da diferença de potencial):
\Delta V = -\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\big[\ln r\big]_{a}^{b} = -\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\big(\ln b - \ln a\big) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Observação didática: a integral de 1/r é \ln r. A expressão final tem \ln(b/a), que é positiva quando b>a, como esperado.

Passo 5

Encontrar a capacitância sem dielétrico (item a).
  • Usando C=Q/\Delta V e a expressão de \Delta V obtida:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)} = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Interpretação rápida: a capacitância cresce com o comprimento L (mais área para armazenar carga) e decresce com a razão de raios através do logaritmo \ln(b/a) (se b fica muito maior que a, a diferença de potencial para mesma carga aumenta, diminuindo C).

Passo 6

Incluir o dielétrico entre os cilindros (item b).
  • Quando se insere um dielétrico homogêneo que preenche totalmente o espaço entre os cilindros, a Lei de Gauss na forma macroscópica usa a permissividade \varepsilon do material no lugar de \varepsilon_0 na relação entre fluxo e carga livre; o campo obtido em termos de carga livre fica análogo, com \varepsilon_0 trocada por \varepsilon.
  • Repetindo a derivação com \varepsilon obtemos a diferença de potencial
\Delta V = \frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right),
logo a capacitância passa a ser
C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Observação: muitas vezes escrevemos \varepsilon=\kappa\varepsilon_0, onde \kappa é a constante dielétrica; assim C com dielétrico é \kappa vezes C sem dielétrico.

Passo 7

Explicação física do porquê há diferença entre (a) e (b) (item c).
  • O dielétrico é um material que, submetido a um campo elétrico, polariza‑se: suas moléculas orientam-se de modo que surgem cargas ligadas nas superfícies internas que geram um campo oposto ao campo aplicado pelas cargas livres. Esse campo de polarização reduz o campo elétrico efetivo \mathbf{E} no interior do dielétrico para a mesma carga Q livre.
  • Como a diferença de potencial entre os cilindros é a integral de \mathbf{E} sobre a distância, a presença do dielétrico reduz \Delta V para a mesma carga Q. Pela definição C=Q/\Delta V, se \Delta V diminui mantendo Q fixo, então C aumenta.
  • Em termos simples: o dielétrico permite armazenar mais carga para a mesma diferença de potencial (ou, equivalentemente, reduzir a diferença de potencial para a mesma carga), por isso a capacitância aumenta. Matematicamente isso aparece como a substituição \varepsilon_0\to\varepsilon (normalmente \varepsilon>\varepsilon_0), multiplicando C por \kappa=\varepsilon/\varepsilon_0.

Resposta

(a) C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}
(b) C=\dfrac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}
(c) O dielétrico polariza-se e cria cargas ligadas que reduzem o campo elétrico efetivo entre os cilindros para a mesma carga livre Q; isso diminui a diferença de potencial \Delta V e, pela definição C=Q/\Delta V, aumenta a capacitância (matematicamente \varepsilon_0 é substituído por \varepsilon>\varepsilon_0).

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