4- A capacitor is formed by two concentric cylindrical surfaces. The inner surface has a radius
and the outer one has a radius
, both having a height
. (a) Determine the capacitance of this system
. (b) Now, a dielectric with electrical permittivity
is inserted between the cylinders. Obtain, as in item (a), the new capacitance of this system
points) . (c) Physically explain why there is a difference between the capacitances in item (a) and item (b)
. Always assume that the electric field is constant. (Total: 2.5 points)
Passo 1
O enunciado dá um capacitor formado por duas superfícies cilíndricas concêntricas: o cilindro interno tem raio
, o externo tem raio
e ambas têm altura
. São pedidas três coisas:
- (a) determinar a capacitância do sistema sem dielétrico;
- (b) determinar a nova capacitância quando se insere um dielétrico de permissividade elétrica
entre os cilindros; - (c) explicar fisicamente por que as capacitâncias de (a) e (b) são diferentes.
Informações relevantes fornecidas:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Altura (comprimento dos cilindros):
. - Em (b): material dielétrico com permissividade
preenche o espaço entre e . - Pressupostos (implícitos no problema que vamos usar): regime eletrostático, simetria cilíndrica (campo radial, independente de
e ), e as grandezas são tais que o modelo macroscópico de capacitor vale.
Passo 2
Definição de capacitância e estratégia geral.
- A capacitância
de um capacitor é definida como a razão entre a carga armazenada em um dos condutores e a diferença de potencial entre os condutores:
Aqui
é a carga no cilindro interno (a do cilindro externo é
) e
é o potencial do cilindro interno menos o potencial do externo.
- Estratégia: primeiro encontrar o campo elétrico
no espaço entre e usando a simetria e a Lei de Gauss; depois calcular integrando de a ; por fim usar . Vou explicar cada fórmula usada e o significado de cada variável.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para obter o campo
.
- Considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
, com , e comprimento . A área lateral dessa superfície é . - A Lei de Gauss em forma integral diz:
no caso sem dielétrico, onde
é a carga total envolvida e
a permissividade do vácuo. Pela simetria cilíndrica o campo é radial e mesmo em módulo em toda a superfície lateral, então o fluxo é
.
- A carga por unidade de comprimento é
. Assim . - Substituindo na Lei de Gauss:
Explicação:
é a intensidade do campo elétrico a uma distância radial
do eixo; ele decai como
por causa da geometria cilíndrica (linhas de campo se espalham ao aumentar o raio).
Passo 4
Calcular a diferença de potencial
entre os cilindros integrando o campo.
- A diferença de potencial entre dois pontos é
. Aqui é radial e o deslocamento radial é no sentido , então . - Substituindo
e integrando:
- Avaliando a integral (note que o sinal negativo garante que
quando ; abaixo consideramos o módulo da diferença de potencial):
Observação didática: a integral de
é
. A expressão final tem
, que é positiva quando
, como esperado.
Passo 5
Encontrar a capacitância sem dielétrico (item a).
- Usando
e a expressão de obtida:
- Interpretação rápida: a capacitância cresce com o comprimento
(mais área para armazenar carga) e decresce com a razão de raios através do logaritmo (se fica muito maior que , a diferença de potencial para mesma carga aumenta, diminuindo ).
Passo 6
Incluir o dielétrico entre os cilindros (item b).
- Quando se insere um dielétrico homogêneo que preenche totalmente o espaço entre os cilindros, a Lei de Gauss na forma macroscópica usa a permissividade
do material no lugar de na relação entre fluxo e carga livre; o campo obtido em termos de carga livre fica análogo, com trocada por . - Repetindo a derivação com
obtemos a diferença de potencial
logo a capacitância passa a ser
- Observação: muitas vezes escrevemos
, onde é a constante dielétrica; assim com dielétrico é vezes sem dielétrico.
Passo 7
Explicação física do porquê há diferença entre (a) e (b) (item c).
- O dielétrico é um material que, submetido a um campo elétrico, polariza‑se: suas moléculas orientam-se de modo que surgem cargas ligadas nas superfícies internas que geram um campo oposto ao campo aplicado pelas cargas livres. Esse campo de polarização reduz o campo elétrico efetivo
no interior do dielétrico para a mesma carga livre. - Como a diferença de potencial entre os cilindros é a integral de
sobre a distância, a presença do dielétrico reduz para a mesma carga . Pela definição , se diminui mantendo fixo, então aumenta. - Em termos simples: o dielétrico permite armazenar mais carga para a mesma diferença de potencial (ou, equivalentemente, reduzir a diferença de potencial para a mesma carga), por isso a capacitância aumenta. Matematicamente isso aparece como a substituição
(normalmente ), multiplicando por .
Resposta
(a)
(b)
(c) O dielétrico polariza-se e cria cargas ligadas que reduzem o campo elétrico efetivo entre os cilindros para a mesma carga livre ; isso diminui a diferença de potencial
e, pela definição
, aumenta a capacitância (matematicamente
é substituído por
).
(b)
(c) O dielétrico polariza-se e cria cargas ligadas que reduzem o campo elétrico efetivo entre os cilindros para a mesma carga livre