O potencial elétrico devido a uma certa distribuição de cargas é dado pela equação
, onde x e y são medidos em metros e V em volts. Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?
Passo 1
O enunciado dá claramente a função potencial
com
e
medidos em metros e
em volts. A pergunta é: em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão do potencial é
. - A busca é pelo(s) ponto(s)
tal que o campo elétrico seja o vetor nulo.
Passo 2
Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Escrevendo isso em forma matemática:
Explicando o que isso significa:
(lê-se "gradiente de
") é um vetor formado pelas derivadas parciais de
. Em duas dimensões:
Cada componente representa a taxa de variação de
na direção do eixo correspondente, mantendo a outra variável fixa (isso é a derivada parcial). O sinal negativo indica que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Lembre-se: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Comentário didático:
porque
não depende de
;
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora aplicamos
. Com as derivadas encontradas:
portanto
Isto significa que o campo elétrico é o vetor constante
em unidades de
(ou
). Explicação física simples: as superfícies equipotenciais são retas horizontais
constante e o campo é perpendicular a elas, apontando no sentido
.
Passo 5
Para que o campo elétrico seja zero precisaríamos resolver o sistema
Aqui
já é satisfeito (porque
sempre), mas
é um valor constante diferente de zero. Assim o segundo equivalente seria
, o que é impossível. Conclusão lógica: não existe nenhum ponto
em que
.
Resposta
Não existe ponto;
em todo o plano.