O potencial elétrico devido a uma certa distribuição de cargas é dado pela equação \mathrm{V}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=-\mathrm{y}, onde x e y são medidos em metros e V em volts. Em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?

Passo 1

O enunciado dá claramente a função potencial
V(x,y) = -y,
com x e y medidos em metros e V em volts. A pergunta é: em qual ponto o campo elétrico é igual a zero?
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão do potencial é \,V(x,y)=-y\,.
  • A busca é pelo(s) ponto(s) (x,y) tal que o campo elétrico \mathbf{E}(x,y) seja o vetor nulo.

Passo 2

Lembrete fundamental (fórmula que vamos usar): o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Escrevendo isso em forma matemática:
\mathbf{E}(x,y) = -\nabla V(x,y).
Explicando o que isso significa: \nabla V (lê-se "gradiente de V") é um vetor formado pelas derivadas parciais de V. Em duas dimensões:
\nabla V(x,y) = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\; \frac{\partial V}{\partial y}\right).
Cada componente representa a taxa de variação de V na direção do eixo correspondente, mantendo a outra variável fixa (isso é a derivada parcial). O sinal negativo indica que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V(x,y)=-y. Lembre-se: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-y) = 0,
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1.
Comentário didático: \frac{\partial V}{\partial x}=0 porque V não depende de x; \frac{\partial V}{\partial y}=-1 porque a derivada de -y em relação a y é -1.

Passo 4

Agora aplicamos \mathbf{E}=-\nabla V. Com as derivadas encontradas:
\nabla V(x,y)=\bigl(0,\,-1\bigr),
portanto
\mathbf{E}(x,y) = -\bigl(0,\,-1\bigr) = \bigl(0,\,1\bigr).
Isto significa que o campo elétrico é o vetor constante \mathbf{E}(x,y)=\bigl(0,1\bigr) em unidades de \mathrm{V/m} (ou \mathrm{N/C}). Explicação física simples: as superfícies equipotenciais são retas horizontais y= constante e o campo é perpendicular a elas, apontando no sentido +y.

Passo 5

Para que o campo elétrico seja zero precisaríamos resolver o sistema
E_x(x,y)=0,\qquad E_y(x,y)=0.
Aqui E_x(x,y)=0 já é satisfeito (porque E_x=0 sempre), mas E_y(x,y)=1 é um valor constante diferente de zero. Assim o segundo equivalente seria 1=0, o que é impossível. Conclusão lógica: não existe nenhum ponto (x,y) em que \mathbf{E}=\mathbf{0}.

Resposta

Não existe ponto; \mathbf{E}(x,y)=\bigl(0,\,1\bigr)\\ \mathrm{V/m} em todo o plano.

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