Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade? (R: 96,7%)

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o acréscimo percentual na vazão (ou seja, quanto a vazão aumenta em percentagem) quando a galeria circular passa de meia seção molhada para a seção que dá a máxima velocidade média.\n
Informações relevantes fornecidas implicitly: a galeria é circular (diâmetro D), partimos da condição de meia seção (profundidade que corresponde à metade da área do círculo) e vamos até a profundidade em que a velocidade média na seção é máxima. Assumimos escoamento uniforme nas duas condições (mesma declividade, mesmo coeficiente de rugosidade), de modo que as diferenças de vazão vêm apenas da geometria da seção molhada. Não há outros dados numéricos (como D, rugosidade, declividade) — eles vão se cancelar na razão que pedimos.

Passo 2

Ferramenta física/matemática que vamos usar (explicada devagarinho): para escoamento uniforme em canal aberto com mesma declividade S e mesma rugosidade n (mesma superfície molhada e material), a fórmula de Manning diz que a velocidade média v é proporcional a
v \propto R^{2/3},
onde R é o raio hidráulico. A vazão Q é
Q = A\,v \quad\Rightarrow\quad Q \propto A\,R^{2/3}.
Aqui:
  • A é a área molhada da seção (m²),
  • P é o perímetro molhado (m),
  • R é o raio hidráulico definido por R = \dfrac{A}{P}.\n
    Então, para comparar duas seções da mesma galeria (mesmo D, mesma S e n), basta comparar a grandeza
Q(\theta)\propto A(\theta)\,R(\theta)^{2/3}=A(\theta)^{5/3}\,P(\theta)^{-2/3},
onde \theta é o ângulo central (em radianos) correspondente ao setor molhado da circunferência.

Passo 3

Expressões geométricas para uma seção circular molhada definida pelo ângulo central \theta (em rad):
A(\theta)=\frac{D^{2}}{8}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr),
P(\theta)=\frac{D}{2}\,\theta.
Explicação: a área do setor de ângulo \theta menos a área do triângulo equivalente dá \tfrac{D^{2}}{8}(\theta-\sin\theta); o perímetro molhado é o comprimento do arco, \tfrac{D}{2}\theta. O diâmetro D aparece como fator comum e vai-se cancelar quando tomarmos razões adimensionais entre vazões.

Passo 4

Primeira condição: meia seção. Isso corresponde a \theta=\pi. Calculemos A, P e R nessa condição (pode-se tomar D=1 para trabalhar adimensionalmente; o fator D cancela depois):
A_{\text{meia}}=\frac{D^{2}}{8}\bigl(\pi-\sin\pi\bigr)=\frac{D^{2}\pi}{8},
P_{\text{meia}}=\frac{D}{2}\pi,
R_{\text{meia}}=\frac{A_{\text{meia}}}{P_{\text{meia}}}=\frac{D}{4}.
Para uso prático adimensional (tomando D=1 para simplificar a aritmética das razões):
A_{\text{meia}}=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}392699,\qquad P_{\text{meia}}=\frac{\pi}{2}\approx 1{,}570796,\qquad R_{\text{meia}}=0{,}25.

Passo 5

Segunda condição: seção de máxima velocidade média. Pela relação v\propto R^{2/3}, maximizar a velocidade média é o mesmo que maximizar R. Para a seção circular molhada
R(\theta)=\frac{A(\theta)}{P(\theta)}=\frac{\theta-\sin\theta}{4\theta}.
Derivando e anulando a derivada (passo de cálculo que dá a condição de máximo) chega-se à equação transcendental simples
\theta\cos\theta=\sin\theta,
ou equivalentemente
\tan\theta=\theta.
Essa equação tem a primeira solução não nula em
\theta\approx 4{,}493409458\\ \text{rad}.
Comentário didático: essa equação aparece em várias situações de otimização em círculos; a maneira elegante de prosseguir é usar a identidade \sin\theta=\theta\cos\theta para expressar \sin\theta e \cos\theta em termos de \theta na etapa numérica seguinte.

Passo 6

Calcular A, P e R na seção de máxima velocidade (usando \theta\approx 4{,}493409458 e, novamente, D=1 adimensional):
Primeiro, usando a identidade que decorre de \tan\theta=\theta,
\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{1+\theta^{2}}},\qquad \sin\theta=-\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^{2}}},
(o sinal negativo aparece porque \theta está entre \pi e 3\pi/2). Assim obtemos numericamente:
\theta-\sin\theta \approx 4{,}493409458 -(-0{,}976129) \approx 5{,}469538,
A_{\max}=\frac{1}{8}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr)\approx 0{,}68369,
P_{\max}=\frac{1}{2}\theta\approx 2{,}246705,
R_{\max}=\frac{A_{\max}}{P_{\max}}\approx 0{,}30435.
Expliquei como obter \sin\theta e \cos\theta a partir da relação \tan\theta=\theta para evitar depender de tabelas pouco precisas: do sistema \sin=\theta\cos e \sin^{2}+\cos^{2}=1 vem \cos^{2}=1/(1+\theta^{2}), etc.

Passo 7

Agora com as duas situações (meia seção e seção de velocidade máxima) calculemos as vazões proporcionais (lembrando Q\propto A\,R^{2/3}). Usando valores numéricos adimensionais:
Q_{\text{meia}}\propto A_{\text{meia}}\,R_{\text{meia}}^{2/3} =\frac{\pi}{8}\left(0{,}25\right)^{2/3}\approx 0{,}15586,
Q_{\max}\propto A_{\max}\,R_{\max}^{2/3} \approx 0{,}68369\cdot(0{,}30435)^{2/3}\approx 0{,}3075\\ \text{(aprox.)}.
Observação: os fatores constantes ( 1/n, \sqrt{S}, fatores com D) cancelam quando fazemos a razão, por isso podemos trabalhar com essas quantidades adimensionais.

Passo 8

Razão entre as vazões e acréscimo percentual:
\frac{Q_{\max}}{Q_{\text{meia}}}\approx\frac{0{,}3075}{0{,}15586}\approx 1{,}967\quad\Rightarrow\quad \text{acréscimo}=\bigl(1{,}967-1\bigr)\times 100\%\approx 96{,}7\%.é
Interpretação: a vazão praticamente dobra (aumenta cerca de 96{,}7\%) quando passamos da meia seção para a seção que fornece a velocidade média máxima, mantendo mesma declividade e rugosidade.

Resposta

96{,}7\%

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