Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade? (R: 96,7%)
Passo 1
O que o exercício pede: calcular o acréscimo percentual na vazão (ou seja, quanto a vazão aumenta em percentagem) quando a galeria circular passa de meia seção molhada para a seção que dá a máxima velocidade média.\n
Informações relevantes fornecidas implicitly: a galeria é circular (diâmetro ), partimos da condição de meia seção (profundidade que corresponde à metade da área do círculo) e vamos até a profundidade em que a velocidade média na seção é máxima. Assumimos escoamento uniforme nas duas condições (mesma declividade, mesmo coeficiente de rugosidade), de modo que as diferenças de vazão vêm apenas da geometria da seção molhada. Não há outros dados numéricos (como
, rugosidade, declividade) — eles vão se cancelar na razão que pedimos.
Informações relevantes fornecidas implicitly: a galeria é circular (diâmetro
Passo 2
Ferramenta física/matemática que vamos usar (explicada devagarinho): para escoamento uniforme em canal aberto com mesma declividade
e mesma rugosidade
(mesma superfície molhada e material), a fórmula de Manning diz que a velocidade média
é proporcional a
onde
é o raio hidráulico. A vazão
é
Aqui:
-
é a área molhada da seção (m²), -
é o perímetro molhado (m), -
é o raio hidráulico definido por .\n
Então, para comparar duas seções da mesma galeria (mesmo, mesma e ), basta comparar a grandeza
onde
é o ângulo central (em radianos) correspondente ao setor molhado da circunferência.
Passo 3
Expressões geométricas para uma seção circular molhada definida pelo ângulo central
(em rad):
Explicação: a área do setor de ângulo
menos a área do triângulo equivalente dá
; o perímetro molhado é o comprimento do arco,
. O diâmetro
aparece como fator comum e vai-se cancelar quando tomarmos razões adimensionais entre vazões.
Passo 4
Primeira condição: meia seção. Isso corresponde a
. Calculemos
,
e
nessa condição (pode-se tomar
para trabalhar adimensionalmente; o fator
cancela depois):
Para uso prático adimensional (tomando
para simplificar a aritmética das razões):
Passo 5
Segunda condição: seção de máxima velocidade média. Pela relação
, maximizar a velocidade média é o mesmo que maximizar
. Para a seção circular molhada
Derivando e anulando a derivada (passo de cálculo que dá a condição de máximo) chega-se à equação transcendental simples
ou equivalentemente
Essa equação tem a primeira solução não nula em
Comentário didático: essa equação aparece em várias situações de otimização em círculos; a maneira elegante de prosseguir é usar a identidade
para expressar
e
em termos de
na etapa numérica seguinte.
Passo 6
Calcular
,
e
na seção de máxima velocidade (usando
e, novamente,
adimensional):
Primeiro, usando a identidade que decorre de ,
Primeiro, usando a identidade que decorre de
(o sinal negativo aparece porque
está entre
e
). Assim obtemos numericamente:
Expliquei como obter
e
a partir da relação
para evitar depender de tabelas pouco precisas: do sistema
e
vem
, etc.
Passo 7
Agora com as duas situações (meia seção e seção de velocidade máxima) calculemos as vazões proporcionais (lembrando
). Usando valores numéricos adimensionais:
Observação: os fatores constantes (
,
, fatores com
) cancelam quando fazemos a razão, por isso podemos trabalhar com essas quantidades adimensionais.
Passo 8
Razão entre as vazões e acréscimo percentual:
Interpretação: a vazão praticamente dobra (aumenta cerca de
) quando passamos da meia seção para a seção que fornece a velocidade média máxima, mantendo mesma declividade e rugosidade.