Aplique o Algoritmo da Divisão para efetuar a divisão de p(x) por q(x), onde
p(x)=x^{4}-2 x^{2}+4 x+1 \quad \text { e } \quad q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p(x)=x^{4}-2 x^{2}+4 x+1
e
q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1
e pede para aplicar o Algoritmo da Divisão para efetuar a divisão de p(x) por q(x).
Informações relevantes fornecidas:
\deg(p)=4,\qquad \deg(q)=3.
Não há outros dados externos. A tarefa é encontrar o quociente e o resto da divisão.

Passo 2

Explicando o Algoritmo da Divisão de polinómios (passo a passo, como eu faria na prova):
  • A ideia central: ao dividir p(x) por q(x) procuramos um quociente s(x) e um resto r(x) tais que
p(x)=q(x)\,s(x)+r(x),
com \deg(r)<\deg(q). Isso é análogo à divisão de inteiros.
  • Procedimento prático (long division): repetimos estes passos enquanto o grau do “resto parcial” for maior ou igual ao grau de q:
    1. Dividir o termo dominante do resto parcial pelo termo dominante de q(x) — isso dá o próximo termo do quociente.
    2. Multiplicar q(x) por esse termo e subtrair do resto parcial.
    3. O resultado é o novo resto parcial; repetir até que o grau do resto parcial seja menor que \deg(q).
  • Observação rápida: como \deg(p)=4 e \deg(q)=3, o quociente esperado terá grau 4-3=1 (ou seja, da forma ax+b).

Passo 3

Preparando os polinômios com todos os termos (alinhar graus, preenchendo termo nulo):
p(x)=x^{4}+0x^{3}-2x^{2}+4x+1
q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1
Agora aplicamos o procedimento descrito no passo anterior.

Passo 4

Primeira etapa da divisão (termo dominante):
  • Dividimos o termo dominante de p pelo termo dominante de q:
\frac{x^{4}}{x^{3}}=x.
Logo o primeiro termo do quociente é x.
  • Multiplicamos q(x) por x:
x\cdot q(x)=x\cdot\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr)=x^{4}-x^{3}-x^{2}+x.
  • Subtraímos este produto de p(x) (fazendo operação coeficiente a coeficiente):
\begin{aligned} &\bigl(x^{4}+0x^{3}-2x^{2}+4x+1\bigr)-\bigl(x^{4}-x^{3}-x^{2}+x\bigr)\\[4pt] &\quad= \underbrace{x^{4}-x^{4}}_{0} +\underbrace{0x^{3}-(-x^{3})}_{+x^{3}} +\underbrace{-2x^{2}-(-x^{2})}_{-x^{2}} +\underbrace{4x - x}_{+3x} +\underbrace{1-0}_{+1}. \end{aligned}
Portanto o resto parcial após esse passo é
R_1(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1.]

Passo 5

Segunda etapa da divisão:
  • Agora dividimos o termo dominante de R_1(x) pelo termo dominante de q(x):
\frac{x^{3}}{x^{3}}=1.
Então o próximo termo do quociente é 1.
  • Multiplicamos q(x) por 1:
1\cdot q(x)=x^{3}-x^{2}-x+1.
  • Subtraímos este produto de R_1(x):
\bigl(x^{3}-x^{2}+3x+1\bigr)-\bigl(x^{3}-x^{2}-x+1\bigr) = \underbrace{x^{3}-x^{3}}_{0} +\underbrace{-x^{2}-(-x^{2})}_{0} +\underbrace{3x-(-x)}_{4x} +\underbrace{1-1}_{0}.
O novo resto é
R_2(x)=4x.
  • Agora \deg(R_2)=1 e \deg(q)=3. Como \deg(R_2)<\deg(q), paramos o algoritmo.

Passo 6

Concluindo a divisão a partir dos termos do quociente encontrados:
  • Os termos obtidos no quociente foram x e 1, portanto o quociente é
s(x)=x+1.
  • O resto final é
r(x)=4x.
Assim a identidade da divisão fica (confirmando a relação pedida):
p(x)=q(x)\,(x+1)+4x.

Resposta

p(x)=q(x)\,(x+1)+4x
Quociente: x+1
Resto: 4x

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