Aplique o Algoritmo da Divisão para efetuar a divisão de
por
, onde
Passo 1
O enunciado dá os polinômios
e
e pede para aplicar o Algoritmo da Divisão para efetuar a divisão de
por
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há outros dados externos. A tarefa é encontrar o quociente e o resto da divisão.
Passo 2
Explicando o Algoritmo da Divisão de polinómios (passo a passo, como eu faria na prova):
- A ideia central: ao dividir
por procuramos um quociente e um resto tais que
com
. Isso é análogo à divisão de inteiros.
- Procedimento prático (long division): repetimos estes passos enquanto o grau do “resto parcial” for maior ou igual ao grau de
: - Dividir o termo dominante do resto parcial pelo termo dominante de
— isso dá o próximo termo do quociente. - Multiplicar
por esse termo e subtrair do resto parcial. - O resultado é o novo resto parcial; repetir até que o grau do resto parcial seja menor que
.
- Dividir o termo dominante do resto parcial pelo termo dominante de
- Observação rápida: como
e , o quociente esperado terá grau (ou seja, da forma ).
Passo 3
Preparando os polinômios com todos os termos (alinhar graus, preenchendo termo nulo):
Agora aplicamos o procedimento descrito no passo anterior.
Passo 4
Primeira etapa da divisão (termo dominante):
- Dividimos o termo dominante de
pelo termo dominante de :
Logo o primeiro termo do quociente é
.
- Multiplicamos
por :
- Subtraímos este produto de
(fazendo operação coeficiente a coeficiente):
Portanto o resto parcial após esse passo é
Passo 5
Segunda etapa da divisão:
- Agora dividimos o termo dominante de
pelo termo dominante de :
Então o próximo termo do quociente é
.
- Multiplicamos
por :
- Subtraímos este produto de
:
O novo resto é
- Agora
e . Como , paramos o algoritmo.
Passo 6
Concluindo a divisão a partir dos termos do quociente encontrados:
- Os termos obtidos no quociente foram
e , portanto o quociente é
- O resto final é
Assim a identidade da divisão fica (confirmando a relação pedida):
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: