Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
- A equação relaciona
e pela derivada . - O lado direito é uma função que envolve
, e divididos por . - Note que a expressão do lado direito não está definida em
; portanto fica fora do domínio das soluções que vamos obter (soluções definidas para ). - A tarefa é encontrar a solução geral
(ou as soluções gerais) que satisfaçam essa equação para .
Passo 2
Vou reescrever o lado direito para enxergar melhor a dependência entre
e
. Dividindo termo a termo por
obtemos:
Cada fração simplifica:
Portanto a equação pode ser escrita como
Passo 3
Observação importante (por que isso importa na prova): o lado direito depende apenas da razão
. Quando uma equação diferencial tem o lado direito que é função somente de
, é muito conveniente fazer a substituição
Isso transforma a equação em outra mais simples em termos de
e
. Não precisa memorizar, basta reconhecer que quando aparece
em todas as aparições de
e
, essa é a jogada padrão.
Passo 4
Faço a substituição
. Então
. Agora preciso calcular
em termos de
e
. Usando a regra do produto:
Explico devagar: derivada de
em relação a
é (derivada de
vezes
) mais (
vezes derivada de
). Como aqui
depende de
, aparece o termo
.
Passo 5
Agora substituo essa expressão de
e também substituo
na equação reescrita do Passo 2:
Aqui dá para cancelar o termo
que aparece em ambos os lados:
Passo 6
A equação obtida para
é uma equação de variáveis separáveis — isto é, podemos colocar todos os termos que dependem de
de um lado e todos os que dependem de
do outro. Faço isso dividindo por
e por
:
Escrevendo em forma de separação explícita:
Passo 7
Agora integro os dois lados. É importante saber as integrais básicas que vamos usar:
-
. (A derivada de é .) -
. (A derivada de é .)
Integrando ambos os lados obtemos:
onde
é a constante de integração (podemos reunir as constantes de ambos os lados em uma só constante).
Passo 8
Agora resolvo para
. Aplico a função tangente em ambos os lados (função inversa do
):
Explicando: se
então
. Note que a tangente tem período
, então essa expressão engloba soluções com descontinuidades (assintotas) onde a tangente explode — isso é normal e esperado.
Passo 9
Volto à variável original
. Lembre que
, logo:
Multiplicando por
obtemos a solução geral:
válida para
e nos intervalos onde a tangente está definida.
Passo 10
Checagens e observações finais (coisas para lembrar na prova):
-
não pertence ao domínio da equação original, então não procuramos solução que passe por . - Não existe solução do tipo
com constante real que satisfaça a equação para todo , porque ao tentar a equação exigiria , impossível em reais. - A constante
pode ser trocada por outra constante (por exemplo não ajudaria muito aqui); a forma mais direta é manter aditivo dentro da tangente.