Resolva a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}.
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
  • A equação relaciona y e x pela derivada \dfrac{d y}{d x}.
  • O lado direito é uma função que envolve x^{2}, x y e y^{2} divididos por x^{2}.
  • Note que a expressão do lado direito não está definida em x=0; portanto x=0 fica fora do domínio das soluções que vamos obter (soluções definidas para x\neq 0).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (ou as soluções gerais) que satisfaçam essa equação para x\neq 0.

Passo 2

Vou reescrever o lado direito para enxergar melhor a dependência entre y e x. Dividindo termo a termo por x^{2} obtemos:
\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Cada fração simplifica:
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\qquad \frac{x y}{x^{2}}=\frac{y}{x},\qquad \frac{y^{2}}{x^{2}}=\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Portanto a equação pode ser escrita como
\frac{d y}{d x}=1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.

Passo 3

Observação importante (por que isso importa na prova): o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Quando uma equação diferencial tem o lado direito que é função somente de \dfrac{y}{x}, é muito conveniente fazer a substituição
v=\frac{y}{x}.
Isso transforma a equação em outra mais simples em termos de v e x. Não precisa memorizar, basta reconhecer que quando aparece \dfrac{y}{x} em todas as aparições de y e x, essa é a jogada padrão.

Passo 4

Faço a substituição v=\dfrac{y}{x}. Então y=vx. Agora preciso calcular \dfrac{d y}{d x} em termos de v e \dfrac{d v}{d x}. Usando a regra do produto:
y=vx \quad\Rightarrow\quad \frac{d y}{d x}=v + x\frac{d v}{d x}.
Explico devagar: derivada de vx em relação a x é (derivada de v vezes x) mais ( v vezes derivada de x). Como aqui v depende de x, aparece o termo x\,dv/dx.

Passo 5

Agora substituo essa expressão de \dfrac{d y}{d x} e também substituo \dfrac{y}{x}=v na equação reescrita do Passo 2:
v + x\frac{d v}{d x}=1+v+v^{2}.
Aqui dá para cancelar o termo v que aparece em ambos os lados:
x\frac{d v}{d x}=1+v^{2}.

Passo 6

A equação obtida para v(x) é uma equação de variáveis separáveis — isto é, podemos colocar todos os termos que dependem de v de um lado e todos os que dependem de x do outro. Faço isso dividindo por 1+v^{2} e por x:
\frac{1}{1+v^{2}}\frac{d v}{d x}=\frac{1}{x}.
Escrevendo em forma de separação explícita:
\frac{d v}{1+v^{2}}=\frac{d x}{x}.

Passo 7

Agora integro os dois lados. É importante saber as integrais básicas que vamos usar:
  • \displaystyle \int \frac{d v}{1+v^{2}}=\arctan v + C. (A derivada de \arctan v é \dfrac{1}{1+v^{2}}.)
  • \displaystyle \int \frac{d x}{x}=\ln|x| + C. (A derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}.)
Integrando ambos os lados obtemos:
\arctan v = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (podemos reunir as constantes de ambos os lados em uma só constante).

Passo 8

Agora resolvo para v. Aplico a função tangente em ambos os lados (função inversa do \arctan):
v=\tan\big(\ln|x|+C\big).
Explicando: se \arctan v = A então v=\tan(A). Note que a tangente tem período \pi, então essa expressão engloba soluções com descontinuidades (assintotas) onde a tangente explode — isso é normal e esperado.

Passo 9

Volto à variável original y. Lembre que v=\dfrac{y}{x}, logo:
\frac{y}{x}=\tan\big(\ln|x|+C\big).
Multiplicando por x obtemos a solução geral:
y(x)=x\,\tan\big(\ln|x|+C\big),
válida para x\neq 0 e nos intervalos onde a tangente está definida.

Passo 10

Checagens e observações finais (coisas para lembrar na prova):
  • x=0 não pertence ao domínio da equação original, então não procuramos solução que passe por x=0.
  • Não existe solução do tipo y=kx com k constante real que satisfaça a equação para todo x, porque ao tentar v=k a equação x\,dv/dx=1+v^{2} exigiria 1+k^{2}=0, impossível em reais.
  • A constante C pode ser trocada por outra constante C_1 (por exemplo C_1=\mathrm{e}^{C} não ajudaria muito aqui); a forma mais direta é manter C aditivo dentro da tangente.

Resposta

y(x)=x\,\tan\big(\ln|x|+C\big)

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