Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de
, determine a taxa de variação da área da base em relação ao tempo, quando a altura é 4 m .
Passo 1
Então, a gente tem um monte de areia que forma um cone, onde a altura é igual ao raio da base. O volume desse cone está aumentando a uma taxa de
. Nosso objetivo é descobrir a que velocidade a área da base está mudando quando a altura é 4 metros. Vamos usar conceitos de geometria de cones e cálculo, especialmente taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Como a altura
é igual ao raio
, podemos substituir
por
:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a taxa de variação do volume
com a taxa de variação do raio
. Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Passo 4
Sabemos que
e queremos encontrar
, onde
é a área da base. Primeiro, vamos achar
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Derivando a fórmula da área em relação ao tempo:
Substituímos
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Quando a altura
, como
, temos
. Substituindo na expressão:
Resposta
A taxa de variação da área da base é
.