O raio r de uma circunferência, cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento C, dessa circunferência, em relação ao tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência cujo raio está crescendo a uma taxa de . A pergunta é: qual a taxa de crescimento do comprimento dessa circunferência em relação ao tempo? Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos da fórmula do comprimento de uma circunferência:
Aqui, é o comprimento e é o raio.

Passo 3

Como queremos saber como está mudando no tempo, vamos derivar a fórmula do em relação ao tempo :
Isso significa que a taxa de variação de depende da taxa de variação de .

Passo 4

Sabemos que . Vamos substituir esse valor na equação que encontramos:

Passo 5

Agora, basta fazer a multiplicação:
Se preferir um valor numérico, usando :

Resposta

A taxa de crescimento do comprimento da circunferência é , ou aproximadamente .

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